TEMA 7 LA LÓGICA COMO
SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO; LOS SISTEMAS FORMALES AXIOMÁTICOS.
ÍNDICE
1. Introducción: Lógica
axiomática
2. ¿Qué es un sistema
axiomático?
3. La verdad de los axiomas
3.1. La evidencia como
criterio de verdad de un axioma
3.2. Axiomas y magnitudes
infinitas
3.3. La geometría no
euclidea
3.4 Hilbert : crítica de la
evidencia
4. Axiomas metalógicos:
los axiomas de identidad y de no contradicción
4.1. El escepticismo y la
negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no
contradicción
4.2. El axioma metalógico
del tercero excluido
5. La concepción
"institucionalista" de los axiomas
6. Axiomática y las
condiciones básicas de un sistea axiomático
6.1. El sistema axiomático
de Frege
6.2. El sistema axiomático
de Hilbert
6.3.El sistema axiomático
de Russell y White head
7.Condiciones básicas de
los axiomas
7.1. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser completos
7.2. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser consistentes
7.3. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser fecundos
7.4. Los axiomas de uns
sistema axiomático deben ser coherentes
7.5. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser independientes
7.6. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser categóricos
7.7. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser pocos y simples
8. Indecibilidad de los
sistemas axiomáticos
8.1. Gödel
8.2. Henkin
8.3. Löwenheim-Skolem
8.4. Church
9.Conclusiones: El sueño
roto ¿verdad en las matemáticas?
10. Bibliografía
Introducción:Lógica
axiomática
Un
sistema axiomático de la
lógica son unas reglas de inferencia y un conjunto de fórmulas bien
formadas que se llaman axiomas. Un axioma se usa en cualquier lugar
del argumento y su verdad es incuestionable porque es derivable por
sí mismo. En griego significa "lo que paarece justo":
'axio' : yo estimo, 'axios': digno. El axioma, por tanto, es un
postulado propositivo que por su propia dignidad, por ocupar un lugar
determinado en sus sistema de proposiciones, debe ser considerado
verdadero. Es intuitivo y evidente, no tiene que ser demostrado. Ej.
"una parte de una cosa es más pequeña que la cosa entera"
Es
distinto de teorema. El teorema es un enunciado que sólo se acepta
una vez que ha sido probado y es útil para explicar la realidad o
para que sea asumido por otros ámbitos científicos.
En
la lógica actual 'postulado' es sinónimo de axioma. Postulado viene
de 'postulare' que significa 'pedir', se emplea como punto de partida
o principio para la demostración de teoremas. Hasta el s.XIX
postulado y axioma no se entendían como sinónimos, sino que el
axioma era lo evidente y el postulado lo que se suponía. En
lógica, axioma es también conclusión demostrada partiendo de un
conjunto vacío de premisas, coincidiendo aquí con las definiciones
de tautología, verdad lógica o enunciado analítico.
Aristóteles
fue el primero en formular
la noción de axioma como: "las proposiciones primeras de las
cuales parte la demostración y en todo caso, los principios que debe
poseer necesariamente el que quiere aprender algo" De este modo
difiere de 'hipótesis' o 'postulado' Para Aristóteles el axioma más
evidente era el principio de no-contradicción y eso quedó inmutable
hasta prácticamente la Modernidad. En efecto, Santo Tomás le seguía
explicando que los pirncipios inmediatos no son conocidos por ningún
término medio, sino por el mero conocimiento de sus términos, como
en este ejemplo: " si se sabe lo que es el todo y lo que es la
parte, se sabe que el primero es mayor que el segundo y que éste es
menor que aquel" Pero Ockham sostuvo que ese principio no vale
cuando se trata de todos que comprenden infinitas partes.
Posteriormente Cantor
defenderá que eso sólo es definición de conjuntos finitos. A lo
largo de la historia se ha buscado la validez absoluta de los
axiomas. Francis Bacon pensaba que se obtenía deductiva o
inductivamente. Descartes que erean verdades eternas e innatas en
nuestra mente. Locke que eran experiencias inmediatas. Leibniz que
eran principios innatos en forma propositiva originaria. J. S. Mill
que eran generalizaciones de la observación como "verdades
experimentales" aunque evidentes. Así pues, tanto racionalistas
como empiristas coincidían en su carácter evidente. Para Kant eran
principios sintéticos 'a priori'. Según esto, la matemática es
axiomática porque fabrica sus propios conceptos. Sin embargo la
filosofía no, porque no los construye. Tal
y como lo explicaba Kant, los axiomas de la intuición que son
principios del entendimiento puro, no son verdaderos axiomas sino que
contienen el principio de la posibilidad de los axiomas en general.
Tras esto, en el pensamiento contemporáneo la noción de axioma ha
sufrido una transformación radical debido a los estudios del
formalismo lógico: Peano, Frege, Russell, Hilbert. A día de hoy la
característica de evidencia ha sido negada como perteneciente al
concepto axioma de modo que axioma ya no se diferencia de postulado y
se emplean ambos términos como sinónimos. Así, los axiomas
matemáticos no se consideran ya ni verdaderos ni falsos, sino fruto
de convenciones necesarias para los discursos matemático y lógico.
Hay
algunos métodos para comprobar qué expresiones son universalmente
válidas como los árboles lógicos o las tablas de verdad propuestas
por Wittgenstein, que aunque útiles, no nos indican que relación
existe entre esas proposiciones. Por ejemplo, un sistema axiomático
que se compone de todas las expresiones universalmente válidas trata
de mostrar cómo todas ellas se derivan de unas pocas fundamentales;
por el contrario, una demostración trata de hacer ver cómo una
expresión indeterminada, es decir, no tautológica, se deriva de
otras indeterminadas que aceptamos como
verdaderas, a los que llamamos postulados. En este contexto, es
arbitrario lo que consideramos como axiomas pero un conjunto de
axiomas debe cumplir estas condiciones para que lo consideremos tal:
a)
Completud: tienen que poder derivarse de él todas las tautologías
de la lógica proposicional.
b)
Los axiomas del conjunto
deben ser independientes entre sí y no deben poder derivarse unos de
otros.
c)
Deben ser consistentes, es decir, sus derivaciones no pueden ser
contradictorias.
2.¿Qué es un sistema
axiomático?
Desde
la Grecia clásica el sistema axiomático es la forma de presentarse
el cálculo o el lenguaje formalizado. En él se dispone de un
conjunto de enunciados que se admiten sin demostración y a partir de
los cuales se obtienen afirmaciones de la teoría a las que llamamos
teoremas. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciados,
más el conjunto de reglas de transformación para obtener los
teoremas es la base primitiva del sistema axiomático.
La
lógica pretende ser un sistema formal axiomático: esto es un método
deductivo formado por un grupo de enunciados que debidamente
formalizados y definidos permiten deducir mediante reglas de
inferencia precisas el conjunto de enunciados llamados teoremas. Hay
sistemas axiomáticos formalizados y no formalizados. Ejemplos son
los que Euclides elaboró en geometría, Arquímedes en física,
Newton en mecánica a partir de la obra de Euclides. A partir del
s.XIX se procedió a la axiomatización de las matemáticas a partir
de geometrías no euclídeas como consecuencia del estudio de la
independencia del postulado de las paralelas de Euclides y de la
crisis de los fundamentos de la matemática. Los
primeros sistemas axiomáticos se aplicaron al estudio de las
matemáticas distinguiéndose entre matemática teórica y aplicada,
que pretende dar una interpretación real del mundo. Los
axiomas se componen de símbolos sin contenido que no son ni
verdaderos ni falsos, si reciben una interpretación concreta
refiriéndose a un universo de objetos pasan a ser enunciados
verdaderos o falsos. Esa
interpretación es un modelo de la teoría. Por ejemplo, el espacio
llamado euclideano que corresponde a nuestra experiencia sensorial y
que desde el s. XX sabemos que no es la única interpretación
posible, hace verdadera y consistente la geometría euclídea, la
cual sólo habla de puntos, símbolos, rectas, ángulos... que
aplicados al espacio definen su estructura. El conjunto de enunciados
del sistema espacial es un modelo de la teoría axiomática de
Euclides.
3. La verdad de los
axiomas
Los
argumentos deductivos válidos no conducen siempre a conclusiones
verdaderas. Sólo cuando todas las premisas de un argumento son
verdaderas y el argumento es válido tiene que ser también verdadera
la conlusión. Las premisas de un argumento deductivo sólo pasan por
ser indudablemente verdaderas cuando son premisas primeras o axiomas.
3.1. La evidencia como
criterio de verdad de un axioma
Por
axioma entendemos lo evidente que es literalmente lo que destaca a la
vista, como el axioma noveno de la obra "Elementos" de
Euclides ya mencionado: "El todo es mayor que la parte" Tal
y como decía Aristóteles con axioma nombramos a lo que no es
necesario demostrar porque demostrar algo evidente se asemeja a quien
con una candela pretende probar la claridad cuando brilla el sol.
3.2. Axiomas y magnitudes
infinitas
Aquí
aparece la crítica de Ockham. Si la cantidad parcial tiene infnitos
elementos no puede ser la cantidad total mayor que la cantidad de la
parte. Posteriormente Cantor (1845-1918) en su artículo de 1895
definió las cantidades inifinitas de tal modo que el mentado axioma
sea válido en cierto sentido y en cierto sentido no: "Cada
cantidad transfinita T está constituida de tal manera que contiene
cantidades parciales T1, las cuales son equivalentes a la misma"
Una cantidad transfinita es una cantidad infinita. En las cantidades
infinitas se da el caso que el todo es mayor que la pate como lo
muestra la representación mediante una línea de infinitos puntos,
pero por otro lado no lo es: A----C----B
El
trazo entreo AB es mayor que el trazo parcial AC. La cantidad de
puntos contenidos en el trazo parcial AC es igual de grande que la
cantidad de los puntos contenidos en toda la línea AB. Toda vez que
la cantidad total y parcial contiene infinitos puntos, la cantidad
parcial puede ser igualmente grande o de igual potencia que la
cantidad total, eso es algo que ya nos salta a la vista de modo
inmedianto, por eso tenemso que establecerlo mediante definición.
Así ocurre con la definición de las pararelas de Euclides en su
obra "Elementos": "Paralelas son unas líneas rectas
que están en el mismo plano y que prolongándose por ambos extremos
hasta el infinito nunca se juntan" Esto parecía tan claro que
hasta el s.XIX no se planteó dudar de esa verdad. Hubo muchos
intentos por demostrar el axioma de las paralelas, es decir, por
derivarlo como un teorema de los otros axiomas del sistema axiomático
de Euclides, pero todos los intentos eran argumentos circulares.
3.3. La geometría no
euclídea
1816
Gauss demostró que el axioma de las paralelas no puede derivarse de
los otros axiomas, lo cual hacía pensar que se podía prescindir de
él. Gauss llegó a la conclusión de que sí y construyó una
geometría no euclídea sin contradicciones y sin el axioma de las
paralelas, aunque en aquel momento no se atrevió a publicar sus
resultados.
1832
Bolyai y 1835 Lobashevski demostraron de forma independiente que el
axioma de las paralelas no puede derivarse de otros axiomas y
construyeron también unas geometrías en las que no tenía vigencia
ese axioma. Apareció otro axioma que ya no tenía nada de evidente,
según el cual no se da en ningún plano ninguna paralela de una
recta que pase por un punto que no se encuentre en ella.
1854
Riemann construyó una geometría en la cual por un punto P pasa más
de una paralela. Todas estas geometrías no euclideanas ya no
resultan evidentes así que el carácter de evidencia se iba
perdiendo del concepto de axioma. Empezaba a esbozarse que sólo a
primera vista, 'prima facie' la evidencia era un criterio para la
verdad de los axiomas, pero que tras una reflexión más profunda y
pormenorizada, podría esa evidencia quedar invalidada.
3.4.Hilbert: crítica de
la evidencia
Dada
la situación, Hilbert (1862-1943) propone que el criterio de verdad
de un axioma no sea ya la evidencia sino la ausencia de
contradicción. Fue el
primero en poner de manifiesto la revolución que suponía el
desarrollo de las geometrías no euclídeas. Su concepción de una
teoría geométrica prontó generalizó a cualquier teoría
matemática o física, lo cual dio lugar a una fecunda concepción de
la ciencia matemática. Hilbert defendió que la geometría euclídea
no es la prescripción del espacio físico, ni de la intuición
espacial humana como sostenía Kant, ni de ninguna realidad concreta.
La geometría euclídea no es historia, sino una teoría más, la
descripción de una estructura que puede realizarse o no realizarse
en el espacio físico. Puede haber tantas geometrías distintas e
incompatibles entre sí, tantas como estructuras abstractas seamos
capaces de definir, con independencia de cualquier realidad. Esta
situación no implica contradicción ninguna pues los teoremas de que
se compone la teoría no son verdaderos ni falsos, a diferencia de
las ideas de que se compone la historia, que sí son verdaderas o
falsas. Así en 1899 en su obra "Fundamentos de la geometría"
expuso que la evidencia no podía ser un criterio de verdad para los
axiomas. En ella explica
por ejemplo que los conceptos básicos de la geometría euclidiana,
como pueden ser los de punto, recta, plano, corresponden a meras
variables 'x', 'y', 'z' cuyos contenidos no se precisan sino que en
principio pueden interpretarse a discreción. De ese modo, los
axiomas de la geomtería ya no tienen por qué ser evidentes, sino
que son determinaciones arbitrariamente fijadas entre tales
variables, signos sintácticos vacíos de contenido pero libres de
contradicción e independientes entre sí. A los axiomas ya no se les
pide ser evidentes, sino sólo libres de contradicción e
independientes entre sí. Hilbert con esto separa lo lógico-formal
de lo manifiesto y evidente y declara como criterio de verdad y
existencia la ausencia de contradicción lógica. Ahora ya no se
puede afirmar que un axioma es verdadero 'en sí', sino que sólo es
verdadero desde la comunidad lingüística que acepta dicho axioma.
Dado lo anterior, en el
criterio de verdad del axioma hay un componente social de que se
acepte como una semántica estable dentro de una comunidad
lingüística, por pequeña que ésta sea.
4.Axiomas metalógicos:
axiomas de identidad y no contradicción
¿Será
también fruto del acuerdo entre una comunidad lingüística la
validez de los axiomas de identidad y no contradicción? Frege se lo
plantea y no habla ya de leyes del pensamiento, queriendo liberarse
así de elementos subjetivos y lo que llamaba "grasa
psicológica" buscando algo objetivamente verdadero. Los axiomas
no describren cómo pensamos realmente, sino que prescribren cómo
deberíamos pensar para llegar a juicios y conclusiones. Esto es
porque también podemos pensar de manera ilógica. La lógica no es
lo que se tiene por cierto, sino como asentó Frege: " es la
ciencia de las leyes más generales del ser verdadero" , del
correcto pensar, no del pensar en general. Por ello el que afirmemos
que algo es igual a sí mismo y que ello no puede estar en
contradicción, no se debe a que no podamos pensar situaciones en las
que esas afirmaciones no sean ciertas, sino que prescribimos que
deben ser ciertas para no errar en nuestros juicios y conclusiones.
Es por ello, que como afirmaciones para este fin, todo el mundo las
reconoce como objetivas y tienen muchas formas de formularse.
Como
ejemplo donde usamos estos axiomas para garantizar un correcto pensar
podemos recurrir al primer axioma del sistema lógico de los
"Principia Mathematica" de Russell y Whitehead que supone
ambos axiomas metalógicos citados: "1.1. Todo lo implicado en
una proposición elemental verdadera, es verdadero" Eso
significa que de premisas verdaderas han de obtenerse conclusiones
verdaderas. En efecto, la validez de un argumento deductivo presupone
que la afirmación de las premisas y la negación de la conclusión
producen contradicción lógica.
4.1. El escepticismo y la
negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no
contradicción
Para
negar los axiomas metalógicos, un escéptico radical tendría que
empezar por afirmarlos. Si
dijera que el axioma de identidad no es verdadero, daría por
supuesta la afirmación siguiente: "el axioma de identidad no es
verdadero es idéntico a el axioma de identidad no es verdadero"
Si en vez de el término 'idéntico' empleara el término
'equivalente', admitiría que: "el axioma de identidad no es
verdadero es equivalente a la afirmación de el axioma de identidad
no es verdadero" El escéptico presupondría en ambos casos el
axioma de identidad para luego negarlo.
Si
afirmase que el axioma de no contradicción no es verdadero,
presupondría que tal afirmación y negación de la misma afirmación
'el aixoma de no contradicción es verdadero' no son verdaderos a la
vez. Si hace tal suposición no está sino afirmando el mismo axioma
de no-contradicción y al afirmarlo así, no lo niega. Si no lo
niega, tampoco puede continuar sosteniendo la negación de la ley de
no contradicción, y, no puede sostenerla, puesto que tiene que
afirmarla para defender su negación.
4.2. El axioma metalógico
del tercer excluido
Baumgarten
(1714-1762) lo distinguió del principio de no contradicción y le
dio el nombre de
tercero
excluido. Su formulación afirma que todo enunciado es verdadero o
falso pero que no se admite un tercer valor vertitativo, no hay una
tercera opción distinta de verdadero o falso. Este axioma ha
recibido muchas críticas no tan fáciles de solventar como se ha
hecho con las dudas que recaían sobre los dos anteriores axiomas
metalógicos. Para el intuicionismo de Heyting, no es válido si hay
un conjunto inifnito de posibilidades. Lukasiewicz y Tarski tampoco
lo dieron por válido porque demostraron que se podía formular una
lógica trivalente o polivalente, empleada en mecánica cuántica de
manera fructífera, la cual establece tres o más valores: verdadero,
falso, posible o indeterminado.
Así
que, no es un axioma verdadero en cualquier sistema axiomático de
lógica o de matemática. No es válido en la obra de Brouwer
(1881-1966) para quien los axiomas y teoremas matemáticos sólo
pueden ser verdadero o falsos cuando son demostrables o refutables
mediante una construcción. Ahora bien, no podemos partir del
supuesto de que en infinitos campos cada afirmación matemática sea
demostrable o refutable mediante una construcción y sin que un
tercero intervenga. Brouwer
defiende que sólo puede considerarse que un ente existe
matemáticamente si se logra construirlo a través de una cantidad
infinita de pasos. Si se
aceptan las reglas de los intuicionistas construyendo uno por uno los
entes matemáticos, se evitarán los principios de las antinomias. En
1920 no se entendió esta teoría acusándola de querer echar por la
borda la matemática clásica. Actualmente
es respetada y es una de las corrientes más influyentes de la
matemática contemporánea. Por ejemplo, establece que hay números
perfectos, que son los números naturales, cuya suma es igual a la
suma de sus partes. Son perfectos los pares hasta el 496 que son los
que se han construido. De ningún número impar se ha demostrado
hasta ahora que sea perfecto, lo cual no quiere decir que todos los
números impares sean imperfectos. La afirmación: ' todos los
números impares son imperfectos' , no se puede ni probar ni refutar
mediante una construcción puesto que hay infinitos números impares.
Por eso para Brouwer la ley matemática del tercero excluido ya no es
verdadera en afirmaciones sobre una cantidad infinita de números.
5. La concepción
'institucionalista' de los axiomas
Defiende
que los axiomas no son verdaderos porque sean evidentes, ni porque se
estalezcan sin contradicción, sino porque están institucionalizados
en una comunidad lingüística. Quien no los acepta, no pertenece a
la comunidad. No hay
justificación absoluta para la verdad de los axiomas.
6.Axiomática y las
condiciones básicas de uns sistema axiomático
Axiomática
es la teoría de los sistemas axiomáticos. Es el sistema deductivo
por excelencia y estas son las condiciones fundamentales que debe
satisfacer para ser rigurosa:
1.
Que sean enunciados explícitamente los primeros con ayuda de los
cuales se propone definir todos los otros.
2.
Que sean enunciados explícitamente las proposiciones primeras, con
ayuda de las cuales se propone demostrar todas las otras.
3.
Que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras
relaciones lógicas, permanezcan independientes del sentido concreto
que se pueda dar a los términos.
4.
Que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones,
independientemente del sentido de los términos, lo que prohíbe, en
particular, tomar prestado algo a la consideración de las figuras.
6.1 Sistema axiomático
de Frege
Frege
propone un sistema axiomático de sólo tres axiomas para facilitar
las demostraciones. Se sirvió solo de los operadores negación y si
entonces.
1.
Conclusión: si p, entonces (si q entonces p)
2.
Conclusión: (si p entonces ( si q entonces r) ) entonces ( ( si p
entonces q) entonces ( si p entonces r ) )
3.
Conclusión: ( si no p entonces no q ) entonces (si q entonces p )
Con
esto se demuestra que la fórmula si p entonces q no es un axioma
sino un teorema obtenido por demostración al sustituir en el segundo
axioma q por si p entonces p y r por p.
6.2. Sistema axiomático
de Hilbert
Establece
tres diferentes sistemas de seres:
1. A
los seres del primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos
A, B, C.
2. A
los seres del segundo sistema los llamaremos rectas y los
designaremos por a, b, c.
3. A
los seres del tercer sistema los llamaremos planos y los designaremos
por "..." los puntos serán también llamados elementos de
la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la
geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de
la geometria del espacio o elementos del espacio.
Divide
los axiomas de la geometría en cinco grupos:
1.
Axiomas de asociación
2.
Axiomas de distribución
3.
Axiomas de las paralelas (postulados de Euclides)
4.
Axiomas de congruencia
5.
Axiomas de la continuidad (axioma de Arquímedes)
6.3. El sistema
axiomático de Russell y Whitehead
En su
obra "Principia Mathematica" exponen que un sistema
axiomático requiere:
1.
Una lógica básica (subyacente a toda teoría)
2.
Términos primitivos (términos lógico o no, necesarios para
construir definiciones)
3.
Términos definidos
4.
Axiomas o postulados del sistema
5.
Reglas de inferencia (para la deducción)
6.
Teoresmas del sistema
El
ejemplo concreto que proponen es:
1.
(si p o p) entonces p
2. (
si p entonces ( p o q)
3. (
p o q) entonces ( q o p)
4. (p
o (q o r) ) entonces ( ( p o q) o r)
5. si
(si p entonces q) entonces ( ( r o p) entonces r o q ) )
Consta
de dos reglas de inferencia:
a)regla
de sustitución: puede sustituirse una variable de enunciado por
cualquier expresión correcta, con tal de que la
variable sea sustuituida siempre que aparece y siempre por la misma
expresión.
b)la
regla de separación: es
posible demostrar todas las expresiones universalmente válidas del
cálculo de proposiciones. El procedimiento es el mismo que
utilizamos en la deducción natural, aplicando las reglas de
inferencia con estas diferencias:
a)
las premisas no pueden ser más que los axiomas aceptados, al menos
en los primeros teoremas probados, una vez demostrados algunos
teoremas, éstos a su vez pueden ejercer de premisas o de supuestos
b)
las reglas de inferencia son sólo las dos indicados, no cuatro como
en la prueba
c) no
se pueden introducir como premisas auxiliares tautologías, a menos
que se hayan demostrado antes como teoremas.
7.Condiciones básicas de
los axiomas
Los
conocimientos no forman ciencia de por sí, si no se encuentran
ordenados sistemáticamente, es decir, formando parte de un sistema
lógico, construido según las relaciones de implicación,
equivalencia... Aunque ninguna ciencia real alcanza absoluta
formalidad y pureza.
Un
sistema lógico es un conjunto de proposiciones entre las que existen
unas relaciones lógicas tales, que partiendo de un pequeño número,
podemos deducir todas las demás sin añadir ninguna otra proposición
exterior al conjunto. Las proposiciones de las que partimos para
deducir las otras son los axiomas; a partir de los axiomas son los
teoremas. Un sistema lógico puramente formal, pues se compone de
axiomas y teoremas.
7.1. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser completos
En
presencia de cualquier proposición del sistema ésta puede demostrar
en cualquier moemento o impugnar y por tanto decidir acerca de la
verdad o falsedad en relación con el sistema de postulados. En este
caso el sistema se denomina decidible.
7.2. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser consistentes
Se
llama consistente a un conjunto de axiomas no pueden dentro de él
proposiciones que resultan mutuamente contradictorias. Aunque es una
propiedad díficil de establecer.
7.3 Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser fecundos.
Los
axiomas de un sistema lógico no se eligen porque sean más evidentes
que los teoremas. La fecundidad se muestra como la caracterísitca
más empleada. A la lógica
no le interesa, pese a Frege, la verdad de las proposiciones que
emplea, sino la existencia de relaciones de implicación entre
proposiciones.
7.4. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser coherentes
Si
no son coherentes, el sistema del que dependen resulta el sistema
contradictorio. Otro
procedimiento es la realización, es decir, la referencia del sistema
a un modelo real, sobre el supuesto de que lo que es real debe ser
posible, y, por tanto, no contradictorio.
7.5 Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser independientes
La
independencia equivale a la irreductibilidad recíproca. Esta
condición no es tan indispensable como la coherencia, es oportuna
para evitar que las proposiciones primitivas resulten numerosas en
exceso. Que sea independiente quiere decir que tiene que ser
imposible deducir uno cualquiera de los axiomas del resto de los
otros: los axiomas deben ser mutuamente independientes. La
interdependencia es la úncia manera de distinguir entre axiomas y
teoremas.
7.6. Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser categóricos
Un
sistema axiomático es categórico si todos sus modelos son
isomórficos. Caracterizar una noción por medio de un conjunto de
axiomasa es esencial que los axiomas sean consistentes, que exista al
menos un modelo. Un punto es lo que satisface tales y tales axiomas,
mientras se ignorase que nada puede satisfacer esos axiomas.
7.7 Los axiomas de un
sistema axiomático deben ser pocos y simples
El
menor número posible y la simplicidad son condiciones deseables que
confieren elegancia lógica, sencillez a un sistema axiomático, si
los axiomas son consistentes puede haber demasiados modelos. Un
sistema axiomático que tenga exactamente un modelo no existe. Todo
sistema axiomático que sea consistente tendrá un número infinito
de modelos. Los modelos del sistema aunque pueden ser numerosos, lo
mínimo que podemos pedir es que sean isomorfos, es decir, que tengan
la misma estructura.
8.Indecibilidad de los
sistemas axiomáticos
Gödel
(1906-1978) fue miembro del Círculo de Viena y tras al segunda
Guerra Mundial enseñó en Princeton. En 1928 Hilbert había
planteado el problema de la completud de la teoría de los números
preguntándose si los axiomas de Peano, pertenecientes a la teoría
elemental de los números, eran capaces o no de demostgrar o refutar
todas las proposiciones de aquella teoría. 1931 Gödel demostró en
"Proposiciones formalmente indecidibles de los 'Principia
Mathematica' y de 'sistemas afines' " , que no es posible
construir una teoría axiomática de los números que posea la
completud propuesta por Hilbert. De este primer resultado Gödel
extrajo el corolario según el cual un cálculo lógico, con potencia
suficiente para formalizar la aritmética elemental, si es coherente,
es de un tipo que hace que en él sea indemostrable
la fórmula que expresa su coherencia. La coherencia de la
aritmética, por lo tanto, no se puede obtener utilizando los
instrumentos pertenecientes al sistema formal mediante el cual se
expresa la artimética. Dicho resultado señalaba con toda claridad
el fracaso del programa hilbertiano, dado que los métodos finitistas
utilizados por Hilbert también
son deformalizables en el interior del sistema axiomático de la
aritmética. Gödel puso de manifiesto que resultaba imposible una
prueba puramente sintáctica de la no contradictoriedad de un sistema
formal, por lo menos, cuando es tan complejo de expresar como la
aritmética elemental.
8.1 Gödel
1931
Gödel propuso su teorema de la incompletud que roza los límites de
la paradoja y con el que arremete contra el proyecto de conseguir una
axiomatización completa de la matemática y la lógica. Hasta él
se decía que podría axiomatizarse la matemática y que dicho
sistema tendría completitud y consistencia. Pero este autor propuso
que sólo podía darse incompletitud e inconsistencia simultánea de
cualquier lógica o sistema matemático. Son dos teoremas: Uno
sostiene que todo sistema de axiomas que sea consistente y capaz de
incluir la teoría formal de la artimética, es necesariamente
incompleto y contiene algún teorema que
a pesar de ser verdadero no puede deducirse del sistema. El segundo,
complementario y consecuencia del primero establece que no puede
probarse la consistencia de un sistema formal de la artimética con
los solos medios que dicho sistema proporciona, por lo que no siendo
la consistencia un teorema del sistema, ha de probarse desde fuera
del sistema. De este modo, en cualquier sistema formal lógico o
matemático, que sea consistente y en cuyo interior se pretenda
desarrollar acabadamente la lógica o la matemática, existen
proposiciones de dicho sistema que son indecidibles, esto es, cuya
afirmación ni negación son demostrables siendo una de ellas,
precisamente, la que afirma que el sistema es consistente,
sosteniendo que en su interior es imposible que existan
contradicciones. Por tanto, no puede demostrarse la no
contradictoriedad de un sistema matemático formalizado dentro del
mismo sistema. En cualquier sistema lógico o matemático exisste al
menos un teorema o proposición que aunque sea verdadero no puede
deducirse del mismo sistema. Es
imposible que un sistema formal aritmético sea consistente
apoyándose únicamente en dicho sistema, la consistencia tendría
que venir de fuera de él, por lo que ningún sistema axiomático es
completo y consistente.
1930
Gödel había demostrado la completud en la lógica cuantificacional
de primer orden: "para toda fórmula A de la lógica
cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadero,
entonces, A es deducible" Se basa en las siguientes cinco
premsias:
1. A
es lógicamente verdadero
2.
Si A es lógicamente
verdadero, entonces noA es insatisfactible
3. Si
noA es insatisfactible, entonces noA es inconsistente.
4. Si
noA es inconsistente, entonces da lugar a contradicción, es decir,
se sostiene que "noA entonces B" y "noA entonces noB"
5. Si
"noA entonces B" y "noA entonces noB" entonces A.
El
sentido que se le ha dado a los teoremas de Gödel posteriormente es
que la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para
fundamentar definitivamente cualquier conocimiento de algún interés
teórico. Según esta interpretación laxa algunos filósofos han
llegado a afirmar que el resultado de su teoría demuestra "el
fracaso de la lógica o incluso, el fracaso de la razón" Estas
afirmaciones carecen de fundamento porque lo único que demuestran
sus teoremas es que es imposible conseguir un conjunto de axiomas y
un juego de reglas de transformación que suministren todas las
verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de
predicados. Es más, el hecho de que la lógica haya descubierto los
límites o la inviabilidad de una realización universal del programa
algorítmico en su forma clásica es más bien un éxito que un
fracaso de la actividad capaz de tal resultado. Esto significa que el
pensamiento puede saber cuáles de sus actividades son algorítmicas
y cuáles simplemente racionales, lo cual es útil. Fracaso sería si
el pensamiento no supiese el alcance de su propia actividad.
8.2. El teorema de
satisfacción de Henkin
Dada
la complejidad del teorema de Gödel se popularizó antes que el suyo
el teorema de la satisfacción de Henkin en 1949, según el cual todo
conjunto de fórmulas que sea consistente es satisfacible. De ahí se
sigue el teorema de Gödel como corolario pasando de la consistencia
a la satisfacibilidad. Establece que "para cualquier conjunto de
fórmulas A de lógica elemental, si A es consistente, entonces A es
simultáneamente satisfacible en un modelo enumerable" De esta
manera la consistencia de A se extiende a toda fórmula posible
compatible.
8.3. El teorema de la
simultaneidad de satisfacibilidad y consistencia de Löwenheim-Skolem
Afirma
que:
a)
Si un conjunto de fórmulas A es simultáneamente satisfacible,
entonces es consistente, afirmación convergente con la de Henkin. Y
sabemos que las reglas de inferencia transmiten la propiedad de ser
verdadero a las fórmulas a las que dichas reglas se aplican
válidamente.
b) Si
un conjunto de fórmulas A es consistente, entonces, es
simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable, lo que
también sostiene el teorema de Henkin.
c)
Admitidas a) y b) se sigue por doble aplicación del modus ponens la
tesis del teorema A es simultáneamente satisfacible en un dominio
enumerable.
8.4. El teorema de
indecibilidad de Church
En
1936 Church demostró la imposibilidad de encontrar un procedimiento
mecánico decisorio. Junto con el teorema de Gödel compuso los
teoremas de limitación que pusieron en crisis la ilimitada fe que
hasta entonces se depositaba en los métodos axiomáticos desde
tiempos de Ramón Llull pasando por Leibniz, entre otros, y que
dieron lugar una de las investigaciones más fecundas: la teoría de
la computabilidad. Church defendía que toda función efectivamente
calculable es una función recursiva. Partiendo del teorema de Gödel,
Church probó que no es posible hallar una solución general para el
problema de la decisión en teoría elemental de números, por lo que
el sistema formal de la aritmética es indecidible. Esto conlleva a
la no mecanicidad de la lógica formal, no existe ni puede existir un
algoritmo que resuelva mecánicamente a todos los demás, por lo que
la operación deductiva de la razón no es totalmente mecanizable.
Para Church sólo habría un algoritmo que solucionase un problema
lógico siempre si existiese una "máquina de Turing" capaz
de computerizarlo, por lo que la mente humana sería el equivalente a
una máquina de Turing pero imperfecta.
9.Conclusiones: el sueño
roto, ¿verdad en las matemáticas?
Con
lo expuesto anteriormente el concepto de verdad matemática se ha
vuelto problemático. Dada la confianza que se le tenía en todos los
sectores de las ciencias y técnicas y sus buenos resultados parecía
que hubieran sido posibles los sueños de Descartes y Leibniz, pero a
finales del s.XIX y principios del s.XX tal y como hemos visto en
este tema empiezan a temblar sus más férreos principios. Para
salvar esa fe en la verdad matemática y sacarla de esa crisis se
propusieron como hemos explicado tres escuelas o caminos, pero ni el
logicismo que reduce la matemática a la lógica, ni el intuicionismo
o constructivismo, que pretende fundamentar la lógica partiendo de
las intuiciones básicas de la matemática; ni el formalismo, que
quiere desarrollar la lógica y la matemática a un tiempo de modo
puramente formal, han podido imponerse por el momento.
Dada
la excesiva importancia que damos al papel de las matemáticas en
nuestra sociedad es curioso que los matemáticos, con medios
matemáticos han demostrado que hay problemas matemáticos que no
pueden ser tratados con los recursos de la matemática de cálculo,
así que parece ser que existen ciertos límites naturales de la
capacidad del homo sapiens para la matematización. Actualmente la
discrepancia es total respeco a los axiomas que han de aplicarse, por
ejemplo se tiene la libertad de aceptar o rechazar el axioma de
elección y la hipótesis del continuum. Así que sigue abierta pues
la cuestión de los fundamentos últimos y del significado último de
la matemática y su verdad. No sabemos si se logrará alguna vez una
verdad matemática incuestionable y pese a esto la matemática ofrece
avances en ciencia y técnica útiles para el desarrollo de nuestra
sociedad, de modo que parece que para una absolutización de la
verdad matemática existen hoy menos razones que nunca, aunque las
sigamos buscando.
10. Bibliografía
BLANCHE
(1965) México, "La axiomática" UNAM
BOCHENSKI
(1973) Madrid "Los métodos actuales del pensamiento" Rialp
BOOLE
(1979) Madrid "El análisis de la lógica" Cátedra
CANTOR
(1932) Berlín
COHEN-NAGEL
(1968) Buenos Aires "Introducción a la lógica y al método
científico" Amorrortu
DAVAL-GUILLEMAIN
(1964) Buenos Aires "Filosofía de las ciencias" Ateneo
DEAÑO
(1978) Madrid "Introducción a la lógica formal" Alianza
EUCLIDES
(1991) Madrid "Elementos" Gredos
FEYERABEND
(1974) Barcelona "Contra el método. Esquema de una teoría
anarquista del conocimiento"
FREGE
(1984) Madrid "Investigaciones lógicas" Tecnos
"Escritos lógico-semánticos"
"Fundamentos de la aritmética"
Laia Barcelona
"Conceptografía" México
UNAM
GÖDEL
(1949) New Jersey "The inconsistency of the axiom of choise and
of the generalized continuum-hypothesis with the axiom of set theory"
Princeton University Press
MOSTERIN
(1971) Barcelona "Teoría axiomática de conjuntos" Ariel
RUSSELL-WHITEHEAD
(1981) Madrid "Principia Mathematica" Paraninfo
SACRISTAN
(1964) Barcelona "Introducción a la lógica y al análisis
formal" Ariel
No hay comentarios:
Publicar un comentario