TEMA 5 DE LA LÓGICA CLÁSICA A LA LÓGICA SIMBÓLICA

Introducción

Tradicionalmente se ha dividido la lógica en material y formal. La lógica formal estudica la estructura del pensamiento, con el objetivo de poder determinar las leyes necesarias para que un razonamiento sea concluyente o válido.

Desde la lógica tradicional aristotélica se considera fundamental el razonamiento de forma silogística y durante la época escolástica seguirá siendo el silogismo el centro de la lógica. A partir de Kant, con la revolucion que su obra provoca en la teoría del conocimiento, comienza a ser más importante el juicio y se va concediendo cada vez más importancia a la estructura y no al contenido.

Actualmente podemos distinguir lógica de primer orden, que se ocupa de enunciados y cuantificadores y por otra parte, lógica de segundo orden con la que se pueden cuantificar variables de predicados, como pueden ser la lógica de clases o la lógica de relaciones.

Historia de la lógica clásica.

Para hallar los inicios de la lógica debemos remontarnos a la antigua Grecia, donde las polémicas en torno a las obras de Parménides y las paradojas de Zenon, quien hace un uso indebido del principio de no contradicción, como mostrará ya en el s. XX Russell, provocan la preocupación y desarrollo incipiente de esta disciplina. Posteriormente fueron los sofistas los que continuaron su desarrollo. Ellos reducían todo el saber a palabras. Sócrates, en oposición a ellos defendía el valor de los conceptos y su objetivo era definirlos con precisión. Como disciplina la lógica no siempre se ha llamado de la misma manera o ha tenido el mismo campo como objeto. Por ejemplo Platón, quien retomará el trabajo de su maestro, la denomina 'dialéctica', entendiendo por tal la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Él pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad en el mundo de las Ideas separadas del mundo natural cambiante, componiendo el 'cosmos noétos' Reaccionando a esta teoría, su discípulo Aristóteles escribe el 'Organon o coleeción de obras lógicas' donde expone tal actividad como una analítica y no una dialéctica como decía Platón. Aristóteles defenderá que las ideas existen sólo en la mente humana a pesar de que tengan correlato en el mundo natural. Este autor también distingue entre metafísica o ciencia de la realidad del ser en cuanto ser en sus principios más profundos y lógica o ciencia de las ideas o procesos de la mente. Todo apunta a que Alejandro de Afrodisia, comentarista de Aristóteles, fue el primero en utilizar el témino 'lógica' para catalogar esos escritos aristotélicos. Aunque otros autores atribuyen a Zenón de Elea, citado anteriormente, el acuño del término. De lo que no hay duda es de que Zenón contribuye al desarrollo de la lógica en cuanto a la elaboración de sus conceptos. A pesar de que la escuela estoica, Boecio y Porfirio destacan en esta materia al final de la edad antigua, es la lógica aristotélica la que sigue vigente desde la antigua Grecia hasta la Edad Media. Los escolásticos estudian la lógica formal llamada 'dialéctica' hasta el s. XII como propedéutica para los estudios de las demás ciencias (filosofía, teología...) y era materia incluida en el 'trivium'. El lugar que actualmente tiene la lógica en las facultades de Filosofía y Letras, en la Edad Media llamadas Facultades de Artes, viene avalado por 1500 años de experiencia académica continua de esta disciplina.

Abelardo (s. XII) es otra de las figuras destacables con su participación en la polémica sobre los universales. En su obra 'Dialéctica' no sólo aborda la lógica formal sino también categorías, definiciones, etc.

Juan de Salisbury (s.XII) escribe 'Metalogicon'

Guillermo de Shyreswood (s.XIII) escribe 'De Puritate Artis Logicae Tractatus Longior'

Sto. Tomás de Aquino, S. Alberto Magno (s. XIII) siguen estas líneas aristotélicas. De la misma época y corriente, la figura más destacable en la materia de lógica fue Pedro Hispano de Lisboa que llegó a convertirse en el Papa Juan XXI. Escribe 'Summulae Logicales' con la que renueva la lógica y abre una nueva línea de trabajo que culminará con el movimiento occamista. En este sentido toda la escuela escolástica aporta a la lógica las siguientes novedades:

- la teoría general de la referencia

- la teoría general de la implicación

- el desarrollo de la lógica de las modalidades

- el tratamiento de paradojas, problemas lógicos del lenguaje...

La obra de Pedro Hispano tuvo un centenar de ediciones y una enorme aceptación durante siglos. En uno de sus tratados asienta los siguientes términos: suposición, ampliación, apelación, restricción, distribución, exponibles. Establece una célebre hipótesis que anticipa las leyes de De Morgan: "copulativa et disiunctiva de partibus contradicentibus contradicunt" , una conjunción y una disyunción se contradicen mutuamente si sus partes se contradicen. De De Morgan lo establecerá como las contradictorias de una conjunción y de una disyunción se consiguen cambiando en cada caso el signo copulativo o el disyuntivo por su contrario, mientras se niegan cada uno de sus miembros.

s. XIV se produce con fuerza el movimiento nominalista con Guillermo de Occam y Juan Buridan.

s. XVI Pedro Ramos escribe 'Dialéctica'. En el mismo siglo el español Juan de Sto. Tomás escribió "Curso de Lógica" (`Ars Logicae') publicado en Alcalá de Henares con numerosas ediciones hasta hoy.

s. XVII destaca Francis Bacon y Joachni Jungius escribe "Logica Hamburgensis" En Francia Arnauld y Nicole escriben 'La logique de Port Royal' , muy influenciados por Descartes que busca una ciencia totalmente nueva que permita resolver en principio todas las cuestiones evitando la posibilidad de equivocarse razonando.

Leibniz, Kant y Hegel también emplean el término 'dialéctica' con distintos usos siendo Hegel el que lo aplique a su método para reconciliar la afirmación, la negación y la negación de la negación como tesis, antítesis y síntesis.

Historia de la lógica simbólica

Dentro de todo ese esbozo histórico, ¿en qué momento pasamos de la lógica clásica a la lógica simbólica? A la lógica simbólica también se la conoce como lógica matemática o lógica moderna. No es sustancialmente diferente de la planteada por Aristóteles pero se propone el objetivo de llevar más allá el método simbólico de Aristóteles. De esta forma la lógica simbólica no sólo simboliza sujetos y predicados sino conectivas y cópulas. Se dedica a la lógica proposicional añadiendo los silogismos. Pretende presentar en un sólo golpe de vista grupos enteros de frases. Su culminación es el establecimiento de sistemas lógicos o sistemas deductivos.

Podríamos comenzar con Raimundo Llul (mallorquín, s. XIII-XIV) como inventor de la lógica matemática. Este autor estaba interesado en ella como herramienta para la teología. Leibniz esbozará los sistemás lógico simbólicos haciendo hincapié en que el lenguaje natural llevaba a confusión y que sería necesario un lenguaje artificial. El problema de su desarrollo fue que supuso que las posiciones ideológicas podrían reducirse sin más a elementos atómicos lógicos. Desde los siglos XVI al XIX se tiende a mezclar la lógica con la sicología. En el s. XIX hay un renacimiento de la lógica formal con Boole que estableció que las leyes del pensamiento son alebraicas y por tanto formales o con De Morgan.

Peirce escribe "Álgebra general de la lógica" donde continua el trabajo elaborado por Boole llegando a la conclusión de que la lógica de eneuncidos es la base de la lógica general. Esto fue retomado por Frege (XIX-XX) y posteriormente por Russell y Whitehead (XX) quienes intentan deducir la matemática exclusivamente de la lógica.

Wittgenstein (XIX-XX) introdujo el análisis de proposiciones mediante tablas de verdad.

Lukasiewick (XIX-XX): desarrolla la lógica polivalente con los valores de verdad: v, f, indeterminado poniendo en tela de juicio la ley clásica del tercio excluso.

Tarski (s. XX) profundiza sobre la semántica o condiciones de significación y de verdad.

A partir de este momento comienzan a desarrollarse sistemas enteros de lógica.

Gödel (XX, 1931) con la teoría de la incompletud, explica que no hay método de decibilidad para la matemática, por tanto, no hay un procedimiento para determinar la validez de las proposiciones matemáticas. La consecuencia es que puesto que sí hay ese método para la lógica, lógica y matemática no pueden identificarse. Esta nueva teoría de Gödel acaba con el sueño de Frege y Russell de deducir la matemática a partir de la lógica o lo que se conocía como logicismo. Gödel vino a demostrar que no todo es demostrable en matemáticas, siempre hay axiomas.

Tras la segunda Guerra Mundial destaca la escuela polaca con aportaciones como los trabajos de Bochenski que intentan señalar las semejanzas entre las teorías antiguas, medievales, contemporáneas. También trabajan en ese sentido William y Kneale.

Tanto lógica simbólica como lógica clásica asumen que cualquier proposición bien elaborada puede ser verdadera o falsa. Pero como hemos citado anteriormente, recientemente en la historia se han desarrollado sistema de la lógica combinatoria que establecen que una afirmación puede tener un valor distinto de verdadero o falso, como puede ser el valor de indeterminado o un tercer valor neutro, una fracción que oscila entre 0 y 1 o entre -1 y +1. Como aportaciones recientes también se han desarrollado la teoría modal o la lógica deóntica que examina las relaciones lógicas entre órdenes o entre afirmaciones de obligación.

Tras este pequeño recorrido histórico sobre las aportaciones que han ido convirtiendo a la lógica clásica en la lógica simbólica que manejamos hoy, vamos a especificar qué aportaciones exactas ha hecho cada uno de estos autores, para comprender mejor la transformación de esta disciplina.

Lógica de Aristóteles.

Es Aristóteles quien comienza a organizar el saber como un sistema de ciencias. Distingue tres grandes tipos:

1. Ciencias teoréticas: física, matemáticas, filosofía. Tienen por objeto el ser en algunos de sus aspectos especiales o el ser en general.

2. Ciencias prácticas o normativas: política. Tiene por objeto la acción.

3. Ciencias poiéticas: regulan la producción de objetos. En común poseen la forma y la naturaleza de su proceder.

La lógica la entiende el autor como una diciplina independiente que es procedimiento común a cada una de estas ciencias. Es la disciplina que regula el buen proceder de las demás, una propedéutica. Aristóteles pone al día lo que se había desarrollado sobre lógica hasta el momento por parte de sus antecesores. Tras esta forma de entender la lógica se halla la teoría de la sustancia aristotélica, pues está el autor entendiendo la lógica como cuerpo formal, como forma común de cualquier investigación, del resto de las ciencias. La legitimidad de esta abstracción es posible cuando la forma corresponde a la sustancia o es la esencia necesaria de lo que se considera. Si la forma no tuviese la validez absoluta que le confiere el ser y no fuese ella sola la sustancia de aquello que es forma, considerarla aparte mediante la abstracción sería una falsificación injustificable. La abstracción se justifica como consideración de la esencia necesaria de una cosa separada de sus particulariddes contingentes. La lógica como procedimiento analítico se funda pues, en la metafísica como teoría de la sustancia y se sostiene con ella.

Esta aportación es importante porque permitirá a la lógica simbólica usar precisamente los símbolos. La lógica es pues un una técnica del pensamiento, una técnica indispensable para la investigación. La metafísica precede y fundamenta a la lógica porque la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y no viceversa. El ser y la verdad se hallan en relación recíproca pero la afirmación es verdadera porque la realidad es tal y como ella expresa y no al revés. Para Aristóteles el objeto de la lógica es la estructura de la ciencia en general. Analiza el lenguaje apofántico o declarativo propio de las ciencias teoréticas donde ocurren V, F y según la unión entre signos debe repdroducir la unión entre las cosas. El autor defiende que la poética y la retórica, que no son lenguajes apofánticos, están subordinadas a la analítica porque el lenguaje es convencional, pero sólo en cuanto a vocabulario, no en cuanto a sintaxis. Así lo explica en "De interpretatione" (1-16; 9, 3) donde define sintaxis como "afectos del alama que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos"

Según este cuadro lógico , estudia el autor las relaciones de oposición según cualidad y cantidad. Pueden ser:

a)Contradictorias:, no admiten grado intermedios, si una es verdadera la otra es falsa.

b) Contradictorias: no pueden ser a la vez verdaderas, pero como amiten grados intermedios pueden ser a la vez falsas.

c) Subcontrarios : no pueden ser falsas a la vez pero sí verdaderas simultáneamente.

d) Subalternas: si la universal es verdadera, lo es también la particular pero no viceversa. Si la particular es falsa, también lo es la universal pero no al revés.

Las mayúsculas sustituyen a los términos del silogismo. El silogismo consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa. En la subcontraria no sirve el principio de no contradicción. Está presente aquí también el principio de tercio excluso: "entre los opuestos contradictorios no hay medio" (Metafísica IV, 7, 1011b,23;X,7, 1057a, 33) En su obra "Primeros analíticos" explica que el razonamiento más común es el silogismo o el razonamiento deductivo: "un discurso en el que planteadas algunas cosas, se siguen otras por necesidad" Las características del silogismo es que es mediato porque es la contraparte lógico-lingüista del concepto sustancia y es necesario. Sus partes son el sujeto, el predicado de la conclusión y el término medio cuya función determina las figuras del silogismo.

El silogismo es por definición deducción necesaria, también se le llama demostrativo o científico. De los necesarios los más completos son los ostensivos, que son los opuestos a los hipotéticos en los que la premisa mayor está constituida por un condicional. Uno de estos silogismos es el que opera por ejemplo, en la reducción al absurdo. También los hay deductivo e inductivo.

Aristóteles explica que la inducción es una deducción ue en lugar de deducir un estremo de otro mediante el término medio, deduce el término medio de un extremo valiéndose del otro extremo. Ej.

`Después de haber constado que el hombre, el caballo y el mulo (1er término) son animales sin bilis (término medio) y que los 3 son longevos (2º término) , deduca que todos los animales sin bilis son longevos (término medio y extremo) '

La inducción sólo es válida si se agotan todos los casos posibles. Por ello la inducción es de uso limitado y no puede suplantar al silogismo deductivo. Sin embargo Aristóteles explica que para el ser humano es muy fácil e incurre en ellas todo el rato. El autor recomienda su uso en oratoria y dialéctica pero no en ciencia, a pesar de ello es consciente de que es uno de los procedimientos más utilizados en ciencia.

En la obra "Segundos analíticos" Aristóteles examina el silogismo en cuanto a los fundamentos de su validez. Parte de que todo conocimiento deriva de otro conocimiento preexistente. Para que el silogismo sea válido las premisas de las que deriva la conclusión deben ser también necesarias. Para ello deberán ser principios verdaderos primeros e inmediatos. Algunos de estos principios son comunes a todas las ciencias y otros son exclusivos de cada disciplina. La validez de esos principios se fundamenta en que ellos han de ser expresión de la sustancia sobre la que versa esa ciencia de la que tratan. Así la sustancia es causa de todas sus propiedades expresadas en los principios, los principios son causa de la conclusión que el silogismo deriva de ellos, así pues, todo conocimiento es conocimiento de causas, tal y como explica la teoría de la causalidad aristotélica.

En la obra "Tópicos" el autor explica la dialéctica. Los principios de la ciencia son necesarios, sin embargo, los principios de la dialéctica son probables. Así la dialéctica era la primera ciencia para Platón mientras que para Aristóteles es una zona marginal, inferior a la ciencia. Aristóteles examina también los efectos sofísticos cuyos razonamientos son erísticos, es decir, sus premisas no son ni necesarias, como sí son las de la ciencia, ni probables, como sí son las de la dialéctica, son sólo, aparentemente probables. Por tanto, Aristóteles los denomina 'sofismas' . Para que un silogismo sea válido debe cumplir una serie de reglas:

1. Al menos una premisa debe ser afirmativa

2. Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.

3. Si una premisa es particular, la conclusión también será particular.

4- El término medio ha de ser universal al menos una vez.

5. Si un término es universal en la conclusión, también lo debe ser en su premisa correspondiente.

A día de hoy, la validez de un silogismo puede comprobarse con tablas de verdad o con lógica cuantificacional.

Lógica de los estoicos

Para los estoicos, la lógica en un sentido es retórica como discurso continuo y en otro sentido es dialéctica como discurso dividido en preguntas y respuestas. Así lo expone Séneca en su "Epistulae", p. 89: "ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso y de lo que no es ni verdadero ni falso" Lo que no es ni verdadero ni falso para los estoicos son las paradojas y los sofismas. Según Diógenes Laercio, "Vita" VII, 43-44: La dialéctica estoica se divide en gramática que trata de las palabras y lógica que trata de las cosas significadas. La lógica tiene por objeto las representaciones, las proposiciones, los razonamientos y los sofismas. El problema fundamental que se plantea la escuela estoica como escuela moral en relación con la lógica es el criterio de verdad. Para ellos el pensamiento es únicamente guía de conducta, si el pensamiento no poseyera un criterio de verdad y procediese a ciegas y con incertidumbre, no podría servir de guía a la acción. Para los estoicos el criterio de verdad es la representación cataléptica o conceptual.

El concepto 'kataleptiké' signfica fantasía, tanto para el intelecto que se apodera y comprende el objeto como para la acción del objeto sobre el entendimiento. Los escépticos o pirrónicos, con Sexto Empírico a la cabeza, dirán de los estoicos que el concepto de cataléptico es la representación real del objeto impresa por él de conformidad consigo mismo de modo que no podría nacer de un objeto diverso. Para Zenón, es la capacidad para alcanzar y comprender un objeto. Zenón de Elea usaba el siguiente paralelismo: la mano abierta y extendida es la representación pura y simple. La mano contraída que hace acto de coger es el asentimiento, la mano cerrada en puño es la comprensión cataléptica. Las dos manos apretadas eran símbolo de la ciencia. La representación cataléptica implica por tanto asentimiento consciente por parte del sujeto cognoscente. Los estoicos consideraban que este asentimiento era voluntario y libre. El recibir la sensación es involuntario pero asentirla es un acto libre que produce el juicio como conformidad, disconformidad o suspensión. Cuando suspendemos el juicio estamos haciendo 'epoche', que es el concepto griego utilizado por esta escuela y que adoptarán también los pirrónicos. La representación cataléptica debe ser evidencia no contradictoria y en ella se basa la ciencia. Ahora bien, visto que tiene que haber un razonamiento detrás de las percepciones sensibles, no hay ciencia sin dialéctica, siendo propio de la dialéctica presidir los razonamientos. La ciencia se compondrá entonces de impresiones catalétpicas confirmadas por el juicio. Este punto es en el que discreparán los pirrónicos con los estoicos, pues los pirrónicos explicarán que no hay representaciones catalépticas y por tanto sólo estamos autorizados a hacer epoché.

En cuanto al origen del conocimiento, el estoicismo es un tipo de empirismo. Esta escuela defiende que todo conocimiento proviene de la experiencia y experiencia pasiva porque depende de la acción que los objetos de conocimiento ejercen sobre el alma, que es 'tabula rasa', sobre la cual se registran las representaciones. Cuando ya la representación no está afectando y desaparece, queda el recuerdo. Muchos recuerdos parecidos forman una experiencia. De la experiencia nace el concepto común o anticipación y cuando éste llega a universal por un procedimiento técnico obtenemos el concepto. Los conceptos para los estoicos están producidos por el razonamiento y constituyen la ciencia. La razón actúa sobre el material sensible recibido y fabrica los conceptos. Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realiad objetiva, lo rea siempre es individual y lo universal subsiste sólo en las anticipaciones o conceptos. En la Edad Media, la Escolástica, podría decir de esta doctrina que es una suerte de nominalismo, pues los estoicos niegan la realidad de lo universal. La escuela estoica establece cuatro conceptos generales, relacionados entre sí de forma que el siguiente encierra al precedente y lo determina, como si fuesen cajas unas dentro de otras. La más pequeña es el sustrato o sustancia, encerrada a comprendidad en la cualidad, a su vez contenida en el modo de ser que a su vez está contenida en el modo relativo.

El género supremos es el ser por cuanto todo en cierto modo es, no hay concepto m´s extenso que éste. Especie es el individuo. Algunos estoicios utilizan 'quid' para referir a 'algo' y en este sentidsería más amplio que el concepto de ser porque comprende lo incorpóreo o inexistente. Partiendo de esta metafísica, la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de la lógica medieval y moderna son los conceptos de proposición y razonamiento. Los estoicos proponene la teoría del signficiado, que aún hoy tiene importancia en la lógica y filosofía del lenguaje. Hay tres elementos: el significado, lo que significa (voz fonética), lo que es (objeto o sujeto externo)

El significado es una representación que nos viene a la mente cuando oímos una palabra, nos permite referir la palabra a una cosa determinada. La referencia es la parte integrante del significado. El significado orienta la referencia y la hace posible. Este concepto en la lógica medieval y moderna ha sido expresado de distintas formas: connotación, comprensión, interpretante, sentido y la referencia aparece como: suposición, denotación, extensión, significante.

Para los estoicos (IV-III a. C) el razonamiento es conexión entre proposiciones simples. Esto permite a esta escuela distinguir entre conclusión y verdad. Ateniéndonos a la estructura, el enunciado puede ser verdadero o falso según coincida o no con el mundo natural, pero siempre será válido o bien construido si es concluyente, es decir, las premisas impliquen a la conclusión. Aportan aún otro concepto más. Los razonamientos que son concluyentes los llaman apodípticos o no demostrativos, porque son evidente por sí mismo, sin importar si son o no verdaderos. Estos son cuatro de los ejemplos que los estoicos nos dejan:

1. Si es de día hay luz. Es de día, por tanto, hay luz.

2. Si es de día hay luz. Pero no hay luz, luego no es de día.

3. Si no es de día, es de noche. Poero es de día, luego no es de noche.

4. O es de día o es de noche. Pero es de día, luego no es de noche.

Todos ellos son siempre válidos, aunque según sea de día o de noche no sean siempre verdaderos.

El 'Ars magna' de Raimundo Llul

Esta obra afecta a Nicolás de Cusa, Giordano Bruno, Descartes, Leibniz y la lógica moderna. Llul pretende dotar a la apologética católica de una técnica racional que permitiese con la ayuda del silogismo, convencer a los infieles demostrando las verdades del cristianismo. Aquí tenemos la influencia del 'Organum' de Aristóteles que fue sistematizado por Pedro Hispano. Llul estaba obsesionado con la idea de unidad, quiso reducir todo conocimiento a un pequeño grupo de principios, a fin de expresar todas las relaciones posibles de los conceptos. Forma silogismos impecables cuya combinación se encamina a la edificación de la ciencia, con estas operaciones eenciales:

a) Dado un sujeto, encontrar los predicados posibles. Llul representa cada término con una letra del alfabeto.

b) Combina las letras estableciendo las relaciones necesarias entre los términos de un juicio o entre los diversos juicios. A cada grupo lógico de estas letras lo llama cámara y se trata de hacer cámaras correctamente.

La lógica de Occam (s.XIV)

El nominalismo o terminismo que condujo a excesos extravagantes fue establecido por este autor. Se concedió mucha importancia a los términos sin atender a la materia que designaban. El occamismo tuvo que soportar varias acusaciones y condenas por herejía. En el s. XV eso se acentúa y lo descalifican de 'escolástica', contraviniendo la propia navaja de Occam. Eso explica el desprecio que le manifiestan renacentistas como Erasmo o Luis Vives.

El nominalismo considera ciertas las proposiciones analíticas, la verdad de una proposición se alcanza al advertir que el enunciado opuesto es contradictorio. Este tipo de verdad no puede aplicarse a los enunciados experimentales, por lo que los conocimientos físicos y cosmológicos sólo son probables. Así que el camino para buscar nuevas hipótesis queda abierto.

Los calculatores de la escuela de Oxford.

Bajo el influjo de Occam, la escuela de Oxford hace hincapié en las formulaciones algebraicas. Esto también tiene proyección en la Escuela de París. Los 'sophismata' o 'insolubilia' eran proposiciones falsas donde había que descubrir los fallos de deducción. Se pensaba que resolviendo las proposiciones en contra se iba a demostrar una afirmación, y no cuando se examinaba el hecho mismo. Aportan algunos conceptos relevantes para la formación de la ciencia moderna como por ejemplo el de formal.

Leibniz y su proyecto de 'Scientia universalis'

Escribe 'Alphabetum cogitatum humanarum de 'Arte combinatoria' Quería aplicar el método matemático a la ciencia en general, aspirando a ocnstruir una ciencia 'a priori' independientemente de la experiencia. Buscaba que la lógica fuese álgebra del pensamiento. Su fundamento es:

1. Todos los conceptos son simples o compuestos y éstos pueden descomponerse en conceptos simples (ideas precursora del atomismo lógico de Russell)

2. El número de conceptos simples es muy reducido.

3. Los conceptos simples pueden representarse con un símbolo o con una palabra de lo cual resultaría el Alphabetum cogitaiorum humanarum.

4. Una vez obtenidos los conceptos simples, por análisis o descomposición de los compuestos y comprobada verdad, pueden obtenerse nuevos conceptos compuestos combinándolos según los reglas de la aritmética.

5. Este procedimiento permite la unificación de todas las ramas del saber a ciencia universal.

"Characteristica universalis" es una expresión con la que Leibniz se refiere a un lenguaje universal basado en el simbolismo y reglas cobinatorias que representaría 'el verdadero alfabeto del pensamiento humano', basado en las ideas innatas, teoría que defiende este autor racionalista. La utilidad de este lenguaje artificial además de su universalidad, radica en la posibilidad de eliminar las controversias en ciencia, filosofía, religión, pues usando este alfabeto y método razonar no sería más que calcular. El modelo al que aspiraba era el álgebra, ya que permite realizar todas las operaciones con un número reducido de símbolos. Quería aplicar eso a todas las ciencias para que todas tuvieran el mismo rigor deductivo. Divide a la lógica en dos ramas:

1. Lógica demostrationis o 'metodo de la certeza' que son los 'elementa veritatis aeternae' y que servirá para comprobar las verdades descubiertas.

2. 'Lógica inventionis': su objeto es facilitar la investigación y realizar nuevos descubrimientos con un método deductivo, seguro, riguroso, y sistemático.

De este modo la lógica debía llegar a ser 'Philosophia perennis'. Leibniz esperaba los mayores resultados de la aplicación de su método. Pensaba que la verdad se descubriría fácilmente, los avances y retrocesos en el conocimiento cesarían, no habría disputas entre filósofos y escuelas... Pero sus expectativas fracasaron porque para llegar a la 'characterística' había que realizar previamente la 'Enciclopaedia' y no pudo realizarse porque no tuvo los apoyos necesarios. Tanto una como otra dependían de que se alcanzase la verdadera filosofía y para él no llegó hasta 1685 cuando ya había descubierto el cálculo infinitesimal.

La lógica de Port-Royal

El centro de jansenismo fuel el antiguo monasterio femenino cisterciense de Port Royal cerca de Versalles. Jacqueline Arnauld era la directora. Su aportación filosófica, además del janseinismo es la lógica de Port-Royal o arte de pensar. Se basa en la obra escrita por Antoine Arnauld y Pierre Nicole (1612-1694) y Pierre Nicole (1625-1695), titulada "Lógica o arte de pensar" Durante siglos 'las personas de bien' estudiaron lógica a través de este libro, especialmente en Francia, aunque se extendió a más lugares. Ellos lo entienden como arte de pensar correctamente. Tiene dos tesis básicas:

1. Debe convertirse la lógica en herramienta al servicio de las demás ciencias. No hay que detenerse en silogismos artificiosos sino en la enseñanza de ejemplos de razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos dle saber, la literatura y la vida.

2.La mayor parte de los errores humanos no son las consecuencias erróneas, sino elaborar juicios falsos, de los cuales por tanto, extraen consecuencias erróneas. Normalmente los humanos razonan de modo correcto, no se engañan al extraer determinadas consecuencias de las premisas, lo que suele ocurrir es que amenudo juzgan equivocadamente, es decir, no saben establecer las premisas. Esto no es problema de corrección sino de verdad, por eso el arte de razonar debe ser precedido por el de pensar. Esta corriente se ve influida por Descartes y Pascal en cuanto a las reglas metodológicas. Las tres primeras partes del libro de Port-Royal versan sobre las ideas, los juicios y razonamientos y la cuarta parte está dedicada al método, siguiendo los pasos de 'Las Regulae' y el 'Discurso del método' y "Sobre el espíritu geométrico" de ambos autores respectivamente.El pensamiento asume la forma del lenguaje pero el lenguaje no debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma lingüística no debe torcer o viciar las operaciones lógicas. Consiste en poner en claro el auténtico pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal, ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. Arnauld y Lancelot habían escrito dos años antes "Gramática general y razonada" La intención de esta gramática era llegar a las estructuras fundamentales que rigen la mente humana y que pueden constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas históricas. Trataron de convertir en lógico aquel hecho histórico que es el lenguaje. Intentaron demostrar que el sustantivo define la sustancia, el adjetivo sólo puede denotar el accidente y de este modo la teoría del verbo lleva a condenar la retórica de Aristóteles en nombre de su lógica. Para los lógicos de Port-Royal el verbo posee la función principal de significar la afirmación lógica pura y simple. El ser humano no sólo concibe las cosas, sino que las juzga y las afirma. La proposición gramatica y la proposición lógica, lengua y razón, deben coincidir.

Saussure nombrará al programa de Port-Royal como sincrónico y Chomsky dirá de él que es un precedente de su gramática transformacional.

Kant: Lógica formal y lógica transcendental

El ser humano posee una segunda fuente de conocimiento que es el intelecto, además de la sensibilidad. La sensibilidad da los objetos y el intelecto los piensa. Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los elementos de todos los conocimientos de manera que ni los conceptos, sin que les corresponda una intuición, ni la intuición sin conceptos, pueden darnos conocimiento. Ninguna de estas dos facultades puede anteponerse a la otra. Sin la sensibilidad no se nos da ningún objeto y sin el intelecto no podía pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido están vacíos, las intuiciones sin conceptos están ciegas. Estas dos facultades no pueden intercambiarse. El intelecto no puede intuir nada y el sentimiento no puede pensar. El intelecto no puede intuir nada y el sentimiento no puede pensar. El conocimiento sólo puede surgir de su unión. Kant distingue entre ciencia de las leyes de la sensibilidad en general o estética y ciencia del intelecto en general o lógica. La lógica la divide en lógica general o formal y lógica transcendental.

La lógica formal prescinde del contenido, estudia las leyes e investiga sólo los nexos entre conceptos y principios del pensamiento. Corresponde con la lógica de Aristóteles ue luego se ha ido corrigiendo.

La lógica trascendetal, como explica el autor en la obra "Crítica de la razón pura" no le interesa la lógica formal, sino la transcendental, que no prescinde del contenido. Kant distingue entre conceptos empíricos que son los que tienen elementos sensibles y conceptos puros que son los que no están mezclados con ninguna sensación. La lógica transcendental abstrae el contenido empírico pero no el espacio-tiempo que son el vínculo con las intuiciones puras que permiten el conocimiento. Los conceptos 'a priori' del intelecto que sin embargo refieren a objetos son las categorías.

La lógica inductiva de Stuart Mill (XIX)

La lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles. El autor defiende que la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por deducciones 'inferences' y quiere investigar los pasos seguros para hacer deducciones en su libro "A system of Logic, Ratiunative and Inductive" (Londres, 1843), son los siguientes:

1. Método de concordancia: Si dos o más casos tienen un única circunstancia común, ésta es causa o efecto de aquel fenómeno.

2. Método de diferencia: Si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A y no lo contienen si A falta, W depende e A.

3. Método de combinado de concordancia y diferencia: Si varios casos en que está presente A contiene un fenómeno W y otros casos en que no está presente A no contiene W, A es condición de W.

4. Método de los residuos: Si W depende de A, A1, A2... mediante comprobación de las dependencias de A, A2... queda también averiguado en qué grado depende W de A3.

5. Método de las variaciones concomitantes: Si un fenómeno W cambia a otro fenómeno, de modo que todo aumento o disminución de U va acompañado de un aumento o disminución de W, W depende de U.

Este autor contribuye a la lógica inductiva con su obra "Sistema de lógica", donde estructuró los métodos de prueba. Sus estudios desembocaron durante el s. XX en el campo conocido como filosofía de la ciencia. Mill continuó el sicologismo de Hume con su empirismo lógico.

Frege:lógica simbólica moderna

La lógica simbólica moderna nace con la publicación en el s.XIX de "Conceptografía" escrito por Frege, obra que pasó inadvertida hasta la publicación ya en el s. XX de "Principia matematica" de Russell. En la obra de Frege aparece la primera formalización de la lógica de primer orden que muestra que la aritmética se identifica con la lógica en aparente contraposición a la postura de Boole. Años después Frege publica "Fundamentos de aritmética" donde critica las teorías que hacen al número una propiedad de las cosas del mundo. Él defiende que un número es enunciar alguna cosa de un concepto. Desarrolla la teoría de reducción de la aritmética a la lógica, de influencia platónica en cuanto a su concepción matemática. Su objetivo es deducir las leyes de la aritmética y la matemática partiendo de la lógica. Russell reconoce la importancia de su simbología pero prefiere los de Peano. Russell le critió a Frege su teoría de conjuntos porque hay clases que son elementos de sí mismas. Esto se dio en llamar la paradoja de Russell, un ejemplo sería "el libro que contiene todos los libros" Sin embargo la teoría de cuantificadores ha sido considerada la mejor aportación de Frege y una de las mayores novedades de la lógica del s. XIX. Relaciona la lógica aristotélica de enunciados iniciada por los estoicos. Frege inició la tendencia logicista frente a la fundamentación de la matemática.

La aportación de Cantor es reducir la aritmética a la teoría de conjuntos, lo cual abre las puertas a una matemática con potencia unificadora que carece de analogía a lo largo de toda la historia del pensamiento humano.

Peano:(XIX-XX)Italia

Creó un sistema descriptivo según el cual se puede enunciar cualquier proposición lógica o matemática sin recurrir al lenguaje. Se ha llamado "Aritmética de Peano" Es una exposición axiomática y deductiva de la aritmética de los enteros naturales. Es conocida la 'Curva de Peano' que es el primer ejemplo de fractal. Posteriormente buscó una lengua internacional y fundó la metamatemática y metalógica como ciencia que trata las propiedades formales de un sistema deductivo. Pensaba que cualquier enunciado matemático se fundamentaba en un condicional o una implicación. Peano fue el que acuñó el nombre de lógica matemática. Russell lo llama 'gran maestro del arte del razonamiento formal'

Russell:

Russell y Whitehead se conocen en el Congreso Internacional de Filosofía de París en 1900 Posterioemente escriben la obra "Principia Mathematica" Ahí quieren demostrar que toda la matemática procede de la lógica simbólica y cuáles son los principios de la lógica simbólica. Russell considera igual que Frege que la matemática puede reducirse a la lógica. No existen conceptos matemáticos que no puedan reducirse a conceptos o relaciones lógicas. Como hemos visto anteriormente esto será lo que critique Gödel.

La "paradoja de Russell", sin embargo, muestra que la artimética de Frege es autocontradictoria, lo que hace a Frege frenar sus investigaciones. Russell quiso superar la antinomia anterior con la teoría de tipos. Esto defiende que un concepto nunca puede ser necesario como predicado en una proposición cuyo sujeto sea de un tipo igual o mayor al concepto mismo. Las clases no son 'cosas' sino únicamente expresiones que pueden utilizarse correcta e incorrectamente. Parte de la base de que una clase no puede ser miembro de sí misma, sin embargo si no es miembro de sí misma no debe poseer la propiedad definitoria de clase y por tanto sería miembro de sí misma. Esto hasta el infinito incurre en contradicción. Para ello elabora la teoría de tipos, donde se establecen varios niveles.Así llega a la conclusión de que era la lógica y no las matemáticas la que debía reformarse. El sistema lógico propuesto por Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de argumentaciones de las que se pueden encontrar en la lógica silogística, mejora la simbología, distingue sujeto y predicado lógico, pertenencia e inclusión a una clase. Cambia 'todo a es b' por 'si algo es a entonces es b' lo que produce una diferencia con la lógica tradicional porque de esta manera no significa que todo a exista. Todo su sistema es lógica deductiva porque la inducción sólo aporta probabilidad y no certeza.

Wittgenstein

Este autor propone las tablas de verdad. Defiende que todas las proposiciones de la lógica son tautologías y que por tanto son analíticas. En su obra "Tractatus" se refleja la doctrina kantiana de los juicios analíticos aunque Wittgenstein la radicaliza. Este autor, siguiendo la tradición de Frege y Russell sitúa la base de la lógica en el cálculo proposicional y traslada a ese campo su noción de tautología. Las proposiciones de la lógica no dicen nada que pertenezca al mundo, no tienen sentido (sinnlos), no afirman ni niegan nada, no son figuras de la realidad. Pero no son sinsentidos o absurdos (unsinnig) Pertenecen al simbolismo en donde ocupan un lugar límite igual que el 0 en los números naturales. "Tractatus 6.113" : La característica de las proposiciones lógicas es que sólo en el símbolo se puede reconocer que son verdaderas o falsas, ese hecho contiene en sí toda la filosofía de la lógica. La lógica 'a priori' no se puede pensar ilógicamente. La lógica no dice nada del mundo pero es reflejo de su estructura. Sus proposiciones al ser vacías y tautológicas, descubren la invisible estructura formal del lenguaje y con ello la trama del mundo. En otro punto del Tractatus, 4.312, explica el autor que su pensamiento fundamental es que las constantes lógicas no representan, que la lógica de los hechos no puede ser representada. De este modo, según la opinión de M. Garrido, autor del libro "Lógica simbólica", Wittgenstein con la teoría de las funciones veritativas convierte en castillos de naipes los edificios axiomáticos de Frege y Russell.

BIBLIOGRAFÍA

Arnaz "Ininiciación a la lógica simbólica" Trillas, México, 1978

Aristóteles "Obras" Aguilar, Madrid, 1973 (Categorías, Perihermeneias, Analíticos primeros, Analíticos segundos, Tópicos, Refutaciones sofísticas)

Arnaud y Nicole "La logique ou l'art de penser" Lille, 1964

Bochenski "El análisis de la lógica" Cátedra, Madrid, 1976

Boole "El análisis de la lógica" Cátedra, Madrid, 1979

Deaño "Introducción a la lógica formal" Alianza, Madrid, 1976

Ferrater Mora, Leblac, "Lógica matemática" FCE México 1973

Frege "Investigaciones lógicas" , Tecnos, Madrid, 1984

Garrido,M. "Lógica simbólica" Tecnos, Madrid, 1974

Lukasiewicz, "La logística de Aristóteles desde el punto de vista de la moderna lógica formal" Tecnos, Madrid, 1977

Mosterín "Lógica de primer orden" Ariel, Barcelona, 1983

Quine "Filosofía de la lógica" Alianza, Madrid, 1977