TEMA 6 CÁLCULO DE
PROPOSICIONES Y PREDICADOS
Introducción
Cuando
hablamos de cálculo de proposiciones y predicados en lógica ya
estamos presuponiendo una etapa de la lógica concreta. Se trata de
la lógica moderna o
simbólica propuesta ya a partir del siglo XX en la que hay alto
grado de matematización. El nombre de lógica simbólica se remonta
a Leibniz pero fue desarrollado por Frege y Boole. Pretende
llevar hasta sus últimas consecuencias el método simbólico de
Aristóteles. De esta manera, no sólo simboliza sujetos y
predicados, sino también cópulas o conectivas. Se enfoca
principalmente a la lógica proposicional, algo a lo que Aristóteles
sólo atiende a través de los silogismos hipotéticos.
La
lógica elemental o de primer orden se divide en lógica de
enunciados y lógica de predicados o cuantificacional, en la que sólo
se cuantifican los predicados referidos a las variables de individuo
u objeto. Por encima de ella se encuentra la lógica superior o
lógica de predicados de segundo orden que introduce en la
argumentación predicados de predicados y cuantifica variables de
predicado. La lógica de clases que son predicados monádicos y la
lógica de relaciones que son predicados poliádicos,
son partes de la lógica de predicados. La aportacion de Frege fue
inventar un sistema de símbolos mediante el cual pudiera calcularse
la lógica de Aristóteles y la lógica a la que no podían aplicarse
los silogismos ni métodos aristotélicos. En la lógica simbólica,
al contrario que en la aristotélica, es irrelevante si la
proposición puede dividirse en sujeto y predicado. En
esta perspectiva de la lógica eso queda sustituido por funciones
veritativas. Hay símbolos que pueden sustituirse por proposiciones
con valor de verdad. Para valorar los argumentos desde este enfoque
pueden utilizarse árboles lógicos o desde que Wittgenstein las
esbozó en "Tractatus Logico-philosophicus", tablas de
verdad. Los árboles lógicos sirven para evaluar la consistencia o
inconsistencia de los argumentos, mientras que las tablas de verdad
conllevan a una valoración mayor, pues con ellas se pueden averiguar
más características de los argumentos. Por este motivo nos
centraremos en el uso de tablas de verdad. En ellas podemos aplicar
lógicas bivalentes, como la clásica, o tras el siglo XX con los
trabajos de Lukasiewicz y Tarski polivalentes. Se utilizan también
en programación informática, siendo los valores en lugar de V y F ,
0 y 1 o paso de corriente o no paso de corriente. Para explicar el
cálculo de proposiciones partiremos de la lógica bivalente, porque
entendiendo su uso puede entenderse el del resto de lógicas, ya que
la diferencia es que se multiplican los mundos posibles. Ya evaluemos
un argumento con árbol lógico o con tabla de verdad, el primer paso
es formalizar, es decir, pasar desde el lenguaje natural al lenguaje
formal que proporciona la lógica matemática o simbólica. Tomando
el lenguaje natural observamos que tenemos una serie de elementos que
son sujetos y verbos y una serie de complementos y conectores. En la
lógica simbólica vamos a sustituir las acciones, es decir, los
verbos, por letras minúsculas, por convención a partir de la 'p'.
Normalmente tendremos una letra minúscula por cada enunciado. Como
hemos anunciado anteriormente en lógica simbólica no es relevante
si hay sujetos o predicados, buscamos enunciados con sentido
completo. Por ejemplo: 'Luis' podría no ser nada o podría ser 'p',
según el tipo de argumento que estemos formalizando. 'Luis come'
sería también 'p' y 'Luis come y baila' sería 'p y q' Muchos
complementos del lenguaje natural estarán incluidos en 'p' porque
acomapañarán la acción y pertenecerán a ese enunciado completo
que hemos dicho que sustituíríamos por las minúsculas. Otro tipo
de complementos que aparecen en el lenguaje natural, como algunos
adverbios se contemplarán cuando expliquemos lógica de predicados o
lógica cuantificacional, pero no ahora en lógica de proposiciones.
Sin embargo las partículas que en el lenguaje natural conectan o
relacionan unas frases con otras sí están contempladas en este
nivel de análisis, estos son: 'no', 'y', 'o', 'si...entonces', 'si y
sólo si'. Así pues, nuestro lenguaje formal por el momento se
compone de:
-
letras proposicionales (que son las que actúan como funciones,
porque sustituimos los enunciados por ellas): p, q, r, s...
-
conectores simbolizados por:
Negación
¬
Conjunción
^
Disyunción
V
Condicional
→
Bicondicional
↔
Con
estos elementos ya podemos pasar de lenguaje natural a lenguaje
formal enunciados completos. Por ejemplo:
'Sócrates
es griego y es filósofo' : p ^
p
'Sócrates
o es griego o es alemán' : p V
q
La
disyunción tiene dos formas de interpretarse y cuando se proponga o
resuelva un ejercicio hay que especificar por cuál forma se ha
decidido la interpretación para ese caso. Puede interpretarse de
forma excluyente o incluyente. Excluyente es que la disyunción es
válida cuando uno de los miembros sea verdadero, sin importar cuál
de ellos, pero nunca serían verdaderos los dos, representa una
oposición. Incluyente es que la disyunción es válida cuando al
menos uno de sus dos miembros sea verdadero, sin importar cuál de
ellos, pero tampoco importa si el otro miembro es verdadero o no,
podría ser verdadero, no
queda exluida esa posibilidad, pero aunque lo fuese, no anula la
disyunción.
'Si
Sócrates es griego, entonces es europeo' : p
→
q
'Sócrates
es mamífero si y sólo si se reproduce con
mamíferos': p ↔
q
A
estos conjuntos que
representan enunciados completos los llamamos fórmulas, de manera
que cuando pasamos de lenguaje natural a lenguaje formal lo llamamos
formalizar en fórmulas. Para saber que lo estamos haciendo bien y
que todos los usuarios seguimos la misma convención, desde la lógica
de predicados se nos presentan reglas para distinguir fórmulas bien
formadas de aquellas que no lo son:
1.
Cualquier letra proposicional es una fórmula bien formada (fbf)
2.
Si A es una fbf, entonces,
¬
A
es una fbf.
3.
Si A y B son fbf, entonces, A→B
es una fbf.
4.
Si A y B son fbf, entonces, A ^
B es una fbf.
5.
Si A y B son fbfs, entonces, A
V B
es una fbf.
6.
Si A y Bson fbfs, entonces A
↔
B es
una fbf.
7.
Si una fórmula no es una fbf en virtud de las claúsulasanteriores,
entonces no es una fbf.
Formalizacion
en la lógica de enunciados
Para
formalizar es necesario entender lo que se ha dicho en el lenguaje
natural y circunscribirse lo más exactamente a su sentido.
1.
Proposicion: es aquella frase que posee significado completo. En el
lenguaje natural compuesta por : sujeto, verbo, complemento.
2.Observar
cuántos verbos hay en cada proposición y a cada verlo le asignamos
y sustituimos por una letra proposicional (p,q,r...)
3.
Aunque las proposiciones sean muy extensas sólo utilizamos una
variable por acción.
4.
el negador a veces está explícito y otras veces no:
'No
llueve'
¬
p
'Es
incorregible' ¬
p
'No
soy científico ni albañil'
¬
p
^
¬
q
'No
es cierto que sea científico y no albañil'
¬
p
^ ¬
¬
q
5.
' ^'
simboliza conjunciones
copulativas y cualquiera otras, comas y siempre que haya que añadir
algo.
6.
La disyunción como hemos comentado anteriormente puede ser
incluyente o excluyente: 'necesito un profesor de matemáticas o
física' (cualquiera de los dos), 'está muerto o vivo' (sólo uno de
los dos y nunca los dos a la vez)
7.
Puede haber elipsis en el lenguaje natural y en el lenguaje formal
hay que colocar esos conectores que estaban elípticos: 'Antonio,
Pedro y Ramiro, adoran la filosofía'
: p
^
q ^
r
Antonio
adora la filosofia
Pedro
adora la filosofía
Ramiro
adora la filosofía
8.
Elipsis de condicional: 'Cuando lees "El Ser y la Nada"
siempre te entra la depresión' :
p →
q
Hasta
aquí los elementos y la formalización. Con ellos podemos operar
para valorar argumentos empleando tablas de verdad, árboles lógicos
o reglas de inferencia también llamadas reglas de deducción
natural.
Tablas
de verdad
Wittgenstein
en "Tractatus Logico-Philosophicus" esboza el cálculo por
tablas vertitativas. Esto se ha utilizado para demostrar que las
fórmulas del cálculo de Russell y Whitehead son decidibles. Para
elaborarlas se calculan los mundos posibles por potencias de base 2,
debido a que estamos en este momento en una lógica bivalente. El
número de la potencia será cuántos enunciados haya en esa
proposición. Así por cada conector obtenemos una tabla para saber
cómo trabaja ese conector, es decir, cómo afecta a los valores de
cada función cuando se aplica.
Negación
|
p
|
¬
p
|
|
V
|
F
|
|
F
|
V
|
Cuando
se aplica el negador se cambian todos los valores de verdad, lo que
era falso pasa a verdadero y lo que era verdadero pasa a falso.
Disyunción
|
p
|
q
|
p
Vq
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
V
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
F
|
Verdadera
sólo cuando al menos un elemento es verdadero, en su sentido no
excluyente.
Conjunción
|
p
|
q
|
p
^q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
Verdadera
sólo cuando los dos elementos son verdaderos.
Condicional
|
p
|
q
|
p
→
q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
V
|
|
F
|
F
|
V
|
Sólo
es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente F
Bicondicional
|
p
|
q
|
p
↔
q
|
|
V
|
V
|
V
|
|
V
|
F
|
F
|
|
F
|
V
|
F
|
|
F
|
F
|
V
|
Verdadero
cuando los dos elementos tienen el mismo valor de verdad, ya sea
verdadero o falso.
Las
tablas se construyen colocando todas las posibilidades y todos los
enunciados por separado, después todas las negaciones y después
todos los conjuntos desde el más pequeño hasta el mayor,
representado por la conectiva principal, esa columna será el
resultado. Se elaboran tantas filas como mundos posibles haya en
función de los enunciados. Cuando la columna del resultado ofrece
todo V estamos ante una tautología, si es todo F se trata de
contradicción y si es con mezcla de valores V y F es
indeterminación. Un enunciado lógicamente contingente es el que
contiene al menos una interpretación V y una interpretación F. Un
enunciado lógicamente consistente es el que al menos contiene una
interpretación V. Dos enunciados son equivalentes si comparten el
mismo valor de verdad.
Los
razonamientos están formados por varias proposiciones, a unas las
llamamos premisas y a otras conclusión. Un razonamiento es
lógicamente válido, es decir, sus premisas implican a su
conclusión, si su condicional correspondiente, formado por las
premisas como antecedente y la conclusión como consecuente, es
lógicamente válido. En el razonamiento las conectivas actúan como
funciones de argumento con las que a cada par de valores de verdad de
las premisas, le corresponde un valor de verdad de la conclusión.
Árboles
lógicos: consistencia en lógica proposicional vertitativo funcional
Este
método sirve para comprobar la consistencia o inconsistencia de una
fórmula o conjunto de fórmulas bien formadas. Este método no
averigua si es tautológica una fórmula pero si es inconsistente no
es tautológica. Si una fórmula es tautológica su negación tiene
que ser inconsistente. Si al menos una de las ramas del árbol está
abierta, el conjunto es consistente. Si el árbol está cerrado es
inconsistente. Si ¬
A
tiene un árbol
cerrado, A es tautológico. Si A tiene un árbol cerrado, A es
inconsistente. A y B son equivalentes si y sólo si
¬
(A↔
B)
tiene un árbol cerrado.
Los
mienmbros de un conjuto de proposiciones son verdaderos a la vez si
seguimos de abajo arriba una rama abierta para ese árbol para ese
conjunto. El método de árboles como puede dejar ramas abiertas
hasta el infinito no es un método efectivo de decisión para la
lógica de predicados. Teniendo en cuenta que si una fórmula es
tautológica su negación es inconsistene, para comprobar la
implicación con este método, debemos
dejar tal cual todas las premisas de una fórmula bien formada y
negar su conclusión. Como no pueden ser verdad que las premisas sean
verdaderas y la conclusión falsa, el árbol que resulte debe estar
cerrado en todas sus ramas. Si está cerrado en todas sus ramas es
inconsistente pero al haber examinado nosotros la afirmación de las
premisas y la negación de la conclusión del original, el original
es incorrecto, es un proceso parecido a la reduccion al absurdo.
Reglas
de inferencia o de deducción natural
Las
reglas de inferencia tienen la virtud de resolver más rápido que
las tablas y los árboles las valoraciones sobre los argumentos. Hay
unas reglas básicas clásicas y otras derivadas. Para
poder evaluar los argumentos con las reglas de
inferencia hay que colocar las premisas ordenadamente. Después si no
se puede aplicar ninguna regla, está permitido abrir un supuesto. El
supuesto es cualquier fórmula bien formada y puede introducirse en
cualquier línea de prueba.
MP
Modus Ponens : "El que afirmando, afirma" o "Modo que
poniendo pone". También se llama eliminación del condicional.
A→B
A
-------------
B
MT
Modus Tollens: "El que negando niega"
A→B
¬
B
-----------
¬A
Modus
Tollendo Ponens TP : "El que negando afirma" o Silogismo
disyuntivo
A
V B
A
V B
¬A
¬
B
----------
------------
B
A
Modus
Ponendo Tollens: "El que afirmando niega"
¬
(A
^ B)
B
------------
¬
A
DN
Doble negación
¬
¬ A
CP
Contraposición
A→B
-----------
¬
B→
¬ A
IC
Introducir la conjunción
Si
en dos premisas anteriores hay A y B independientemente, podemos
afirmar su conjunción
EC
Eliminación de la conjunción
Si
se nos ha afrimado en una premisa anterior que se da la conjunción A
^ B
, podemos aislar cualquiera de sus elementos A o B.
ID
Introducción
de la disyunción
Debido
a que una disyunción es verdadera cualdo al menos uno de los
elementos lo es, si yo tengo un elemento cualquiera A, puedo ponerlo
en disyunción con cualquier otro. Esta regla no es válida para una
disyunción exclusiva.
Bicondicional
El
condicional sólo expresa una condición suficiente, mientras que el
bicondicional la expresa con necesidad.
A↔
B
---------
A→B
y viceversa
Transitividad
o silogismo hipotético
A→
B
B→C
----------
A→C
Procedimientos
donde se usa supuesto:
TD
Teorema Deductivo : Suponemos el antecedente y si con las reglas de
deducción natural podemos llegar al consecuente, podemos afirmar la
implicación entre antecedente y consecuente.
ABS
Reducción al absurdo: Si
A nos conduce a una contradicción, entonces,
¬ A
es verdadera. Suponemos lo
contrario de lo que queremos demostrar y si ello nos lleva a una
contradicción, podemos afirmar lo que buscábamos.
Casos
Eliminación de la disyunción: Se suponen ambos elementos de la
diyunción por separado y si en ambos casos se llega al mismo
resultado, ese resultado puede afirmarse.
Leyes
de De Morgan
En
el s. XIX el lógico hindú Augustus De Morgan, especialista en
álgebra de relaciones, desarrolló lo que ya había enunciado Pedro
Hispano: la negación de una conjunción equivale a la negación de
cada miembro en esa disyunción.
Las
leyes son dos:
1.
¬
(A
^ B)
2.
¬
(A V B)
------------------
---------------
¬A
V ¬
B
¬ A
^
¬
B
Derivadas
de las leyes:
A
^ B
A
V B
¬
(A
V
B )
----------
------------- ------------------
¬
(¬A
V ¬
B )
¬ (
¬A
^
¬ B)
¬
( ¬A
→B)
¬
(A
^ B)
¬A
^
B
A
→B
---------------
--------------
------------
¬A
V ¬
B
¬
(A
V ¬
B)
¬ (
A
^ ¬ B)
A
^
¬ B
¬A
V B
¬A
V ¬
B
-------------
-------------
---------------
¬
(A
V
B )
¬
(A
^
¬ B)
¬ (A
^
B)
Lógica
de predicados o cuantificacional
Fue
comenzada por Frege en 1884 y Russell y Whitehead en 1904
desarrollaron un sistema parecido como conjunto diferente de axiomas.
Hilbert y Ackerman analizarona de forma rigurosa la lógica de primer
orden. Estos planteamientos contienen problemas en cuanto a la verdad
lógica. Parece haber cierta necesidad que la distingue de la verdad
de los enunciados, por ejemplo, de los enunciados de la ciencia
física. Pero, ¿cómo se puede elucidar esta necesidad? Es decir,
consideremos las relaciones entre las verdades lógicas y los axiomas
en que se basan. ¿Dependen éstas en su verdad de los axiomas? Si es
así, ¿de qué depende a su vez la verdad de los axiomas? Y si no es
así, ¿en qué sentido se derivan de ellos las verdades lógicas?
Esto manifiesta problemas acerca de la misma lógica. Son cuestiones
que surgen no tanto cuando se está desarrollando un sistema lógico
como cuando se reflexiona sobre lo que se está haciendo al
desarrollarse así. Así que esto ya sería competencia de la
filosofía de la lógica o de la metalógica. A ello también dará
respuesta Gödel.
La
lógica clásica consideraba como fundamentales 4 tipos de
proposiciones a las que ditinguía por medio de letras A, E, I, O, U.
A:
Todo F es G (x) (Fx→Gx)
E:
Ningún F es G (x) (Fx→
¬Gx)
I:
Algún F es G (Ex) (Fx ^
Gx)
O:
Algún F no es G (Ex) (Fx
^¬Gx)
Lo
que nos permite la lógica de predicados es cuantificar. De esta
forma tenemos dos operadores, el generalizador 'Para todo x, si x es
y , entonces, x es z' : x(Ex→Gx);
particularizador 'Para
algún x, si x es y, entonces, x es z': Ex(Ex ^
Gx)
Para
Aristóteles hay elementos categoremáticos o denotativos y
sincategoremáticos o conectores.
Los
categoremáticos son completos porque tienen sustancia o sujeto,
verbo, predicado... ej. 'Todos los hombres son seres corpóreos'. Sin
embargo, 'todos' es sincategoremático porque sólo se convierte en
enunciado uniéndose a una función proposicional. Según
esto la lógica de predicados es la parte de la lógica que se dedica
a estudiar la consecuencia lógica entre las proposiciones o
enunciados, pero con la particularidad de que frecuentemente no es
suficiente con analizar la estructura de la totalidad de los
enunciados, sino que se hace necesario adentrarse en su estructura
interna. Esto es lo que se denomina lógica de predicados de primer
orden. Ejemplo:
1.
Todas las personas a las que le gusta la poesía son melancólicas.
2.
A Rocío le gusta la poesía.
3.
Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica.
Esta
inferencia formalmente es correcta, siendo su forma lógica.
p→q
p
˫
q
Consideremos
ahora este otro ejemplo:
1.
A todas las personas melancólicas les gusta la poesía
2.
A Rocío le gusa la poesía
3.
Por consiguiente, Rocío es una persona melancólica.
Si
consideramos que la forma lógica es la misma en los dos, resulta que
el primer argumento es correcto pero el segundo no lo es, por tanto,
hay que pasar a analizar la estructura interna de la argumentación.
En
el enunciado 'Todos los árboles son vegetales' hay un objeto, árbol,
propiedad que se le atribuye al mismo, 'ser vegetal'. A los términos
que mientan a los objetos los llamamos designadores, mientras que a
los términos que se refieren a los predicados, los llamamos
relatores. El referente u objeto puede constar de un espacio vacío,
se puede predicar algo de un objeto cualquierea, entonces, lo
denominamos argumento. Al argumento se le atribuye un predicado. El
predicado puede ser de propiedades que denominamos absolutos o
válidos para todos. Y a las propiedades corresponden agrupaciones de
dos o más nombres, dependiendo de que los predicados tengan dos o
más lugares vacíos. Para ello sirven el generalizador y el
particularizador. En la lógica formal contemporánea se representan
así:
1.
Cuantificador universal o generalizador Vx(Px): 'Para todo x , p de x
o para todo x, se predica p'
2.
Existencial o particularizador Ex(Px)
: 'Existe o hay un x tal que es p' (puede
ser una E al revés pero no encuentro ese caracter en el ordenador)
Con
ellos podemos formalizar los siguientes
casos:
Vx(Fx)
: Para todo x, x es
filósofo o 'todos son filósofos'
Vx(Fx→Px)
: Para todo x, si x es filósofo, x es profesor: todos los filósofos
son profesores
Vx(Fx↔Px)
: Para todo x, x es filósofo si y sólo si x es profesor: Todos son
filósofos y profesores o ni filósofos ni profesores.
¬
Vx(Fx): Para todo x, x no
es filósofo: Nadie es filósofo
¬
Vx(Fx→Px)
: No es el caso que, para todo x, si x es rojo, entonces x es
filósofo: No todos los que son filósofos son profesores.
Vx
(Fx→¬
Px)
: Para todo x, si x es filósofo, entonces x no es profesor: Ningún
filósofo es profesor.
Ex(Fx)
: Existe algún x tal, que x es filósofo: Alguno es filósofo.
¬
Ex(Fx): No es el caso que
exista un x tal que sea filósofo: Alguno es filósofo
Ex
(Fx ^
Px): Existe algún x tal,
que x es filósofo y profesor: Alguno es filósofo y profesor
El
clasificar predicados en todos o algunos nos lleva a la teoría de
conjuntos o lógica de clases, por lo que también podemos emplear lo
que sabemos de ella para el cálculo lógico de predicados.
Lógica
de clases
La
lógica de clases es la lógica de predicados monádicos.
Históricamente alcanzó su desarrollo con Boole en el s.XIX y con
Morgan. Actualmente la lógica de clases es posterior a la lógica de
enunciados y lógica proposicional. Esto es porque dos clases que se
encuentran relacionadas de cierta manera están enunciando ya una
proposición. La lógica de clases supone nociones de lógica
proposicional pero a la vez, es una extensión de la lógica a campos
de la lógica proposicional no podría abarcar. Sirven para explicar
los silogismo de la lógica tradicional.
ej.
Todos los mamífesor carnívoros tienen pelo
Los
perros son mamíferos carnívoros
Luego,
los perros tienen pelo.
Una
clase o conjunto es una agrupación de individuos de cualquier tipo
que tienen en común una propiedad por la cual se les identifica como
miembros de ella. A toda la propiedad le corresonde una clase y a
toda clase le corresponde, al menos, una propiedad, una propiedad
delimita o define una clase. Las propiedades son parte de la
realidad. Por ejemplo, el ser rojo es una característica física de
la lámpara que ilumina mi ordenador donde escribo. Bajo esta
perspectiva real, no es objeto de la lógica, pues ésta no investiga
lo que es el color. Esta propiedad de la lámpara es simbolizada en
nuestro pensamiento en
predicado de las cosas. Y en cuanto a predicado, las propiedades de
la lámpara, sí interesan a la lógica. El predicado es una parte de
la proposición, pero no es una proposición. Las proposiciones
tienen valor de verdad y el predicado por sí mismo no. Consideramos
una clase al conjunto de aquellos objetos a los que se atribuye con
verdad un predicado. Al margen de nuestro pensamiento los objetos no
forman clases. Sólo existe clase cuando previamente existe una
clasificación, una operación mental por la que, atendiendo a
determinadas semejanzas entre objetos, los designamos con un mismo
símbolo. Los objetos por sí mismos no constituyen clases. Lo
que interesa a la lógica no es lo que un predicado connota, es
decir, su significado, sino lo que un predicado denota, es decir, el
conjunto de objetos de los que puede predicarse con verdad. En la
lógica de clases, por tanto, se emplean los predicados
extensionalmente. 'Extensión' de un término es lo mismo que
'denotación'. Ej. 'los lobos se incluyen dentro de los mamíferos',
no queremos decir que el predicado lobo forme parte de la conntación
de mamífero, sino que la denotación de lobo es una parte de la
denotación de mamífero. Ambos aspectos se hallan en relación
inversa: cuando la denotación de A incluye la de B, generalmente es
porque la connotación de B incluye a la de A. Puesto que tomamos los
términos extensionalmente, consideremos que dos clases son idénticas
cuando tengan los mismos objetos, aunque los predicados 'hombre' y
'animal capaz de religión' que las designan tengan diferente
connotación. Así, considererarmos idénticas las clases denotadas
por los predicados 'hombre ' y 'animal capaz de religión', aunque
las connotaciones de ambos predicados sean obviamente distintas.
En
lógica de clases hay expresiones universalmente válidas y son
equivalentes a las tautologías. Si son muy importantes las llamamos
leyes. Son válidas en cualquier universo del discurso que no sea
vacío. Una expresión es universalmente válida cuando da lugar a
proposiciones verdaderas , siempre que , con referencia a cualquier
universo del discurso no vacío, sustituyamos las variables de clase
por los nombres de cualesquiera clases especiales. Por ejemplo, 'A
pertenece a B' no es universalmente válida porque no lo es con
cualquier interpretación.
En
cuanto a leyes de cálculo de clases podemos tener las siguientes:
identidad, no contradicción y tercio excluso; doble negación;
relacionadas con la identidad: pertenencia...; asociación;
transitividad; conmutación; tautología; distribución; intersección
y reunión; dualidad o de De Morgan.
Para
el cálculo de clases disponemos de las variables de clase
simbolizadas por letras mayúsculas a partir de la A y '^'
representa la clase vacia
o sin elementos y 'V' representa la clase universal
a la que pertenecen todos
los objetos del universo del discurso de que se trate. Cuando
hablamos de relaciones entre clases y en especial cuando nos
referimos al complemento de una claes, estamos siempre pensando como
transfondo en un campo determinado de objetos, con respecto al cual
tiene sentido hablar de clases y de sus relaciones mutuas. Ej . Si
decimos que la clase de gatos está incluida en la de felinos, nos
referimos al 'campo determinado de animales del que están excluidos
los astros, las nubes, los números...' A veces el universo del
discurso del que hablamos puede extenderse a todos los objetos
existentes o posibles como en el caso de la metafísica clásica. Así
pues, tanto la clase vacía como la clase universal deben siempre
entenderse referidas al universal del discurso de que se trate.
El
complemento de una clase A es la clase de todos los elementos del
universo de discurso de que se trate que no pertenezcan a A.
Complemento A y variable A es el opuesto a la variable
Avacía(triángulo encima):
A:
personas que son padres
Avacía:
personas que no son padres
Hay
diferentes conexiones entre clases:
-Intersección
o producto de A y B es una nueva clase C que contiene todos los
elementos y sólo los elementos que pertenecen a la vez a A y a B. Se
representa A∩B
A:
presidentes de república B: mujeres
A∩B
: mujeres presidentes de
república
-
Reunión o suma de A y B
es una nueva clase C que contiene todos los elementos y sólo los
elementos que pertenecen a A o a B o a ambas a la vez. Se representa
A U B
A:
obreros B: afiliados a un sindicato AUB : obreros o afiliados a un
sindicato o ambos a la vez
Relaciones
entre clases podemos encontrar:
-Inclusión:
una clase A etá incluida en otra B cuando todos los elementos de A
son elementos de B. Se representa A CB . Se lee A está incluida en
B.
-Identidad:
A es identica a B cuando cada elemento de A es elemento de B y
viceversa. Se escribe
A
=B Cuando no hay identidad se coloca el igual tachado.
Cuando
se dan las relaciones de identidad, inclusión...se forman
proposiciones pero cuando se dan conjunciones entre clases sólo se
producen elementos de proposiciones.
Las
conectivas en lógica de clases son los mismos símbolos que en
lógica proposicional.
Bibliografía
Antón
A-Casañ P. "Lógica matemática. Ejercicios 1 Lógica de
enunciados" Nau Llibres, Valencia,
1991.
"Lógica
matemática. Teoría y práctica II. Lógica de predicados" Nau
Llibres,
Valencia,
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Aristóteles
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